My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

Cálculo diferencial e integral I

2018-04-05T14:51:12Z

Ist12543:

=Limites=
*[[Limite de funções racionais]]
*[[Funções com radicais]]
*[[Transcendentais]]
*[[Por Ramos]]
=Derivadas=
*[[Função composta]]
*[[Produto de funções]]
*[[Somas]]
*[[Quocientes]]
*[[Gráficos]]
*[[Por ramos]]
=Integrais de Riemann=
*[[Aditividade do intervalo de integração]]
*[[Propriedades do integral nulo]]
*[[Combinação de áreas]]
*[[Relação entre integrais e somas superiores e inferiores]]
*[[Somas de Darboux 0-5n]]
*[[Somas de Darboux em funções elementares]]
*[[Propriedades do integral em relação á paridade]]
*[[Manipulação de expressões com integral]]
=Primitivação=
*[[Problemas com valores iniciais]]
*[[Area de curva]]
*[[Área entre 2 gráficos]]

Cálculo diferencial e integral I

2018-04-05T14:49:41Z

Ist12543:

=Limites=
*[[Limite de funções racionais]]
*[[Funções com radicais]]
*[[Transcendentais]]
*[[Por Ramos]]
=Derivadas=
*[[Função composta]]
*[[Produto de funções]]
*[[Somas]]
*[[Quocientes]]
*[[Gráficos]]
*[[Por ramos]]
=Integrais de Riemann=
*[[Aditividade do intervalo de integração]]
*[[Propriedades do integral nulo]]
*[[Combinação de áreas]]
*[[Relação entre integrais e somas superiores e inferiores]]
*[[Somas de Darboux 0-5n]]
*[[Somas de Darboux em funções elementares]]
*[[Propriedades do integral em relação á paridade]]
*[[Manipulação de expressões com integral]]
*[[Area de curva]]
*[[Área entre 2 gráficos]]
=Primitivação=
*[[Problemas com valores iniciais]]

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

2018-03-28T19:27:42Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço gerado, espaço das colunas, espaço nulo
</div>
</div>

Seja $ A_{n \times n} $ uma matriz quadrada e $ A^T $ a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.

A) a dimensão do espaço das colunas de $\text{A}$ é igual a $\text{n}$ sse existe um vector $\text{b}$ de $\mathbb{R}^n$ tal que o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}$ é impossível;

B) as colunas de $\text{A}$ geram $\mathbb{R}^n$ sse $A^T$ não é invertível;

C) $\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}$ sse o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}$ tem infinitas soluções;

D) a dimensão do espaço das colunas de $A^T$ é estritamente menor que $\text{n}$ sse aplicando o método de Gauss-Jordan a $\text{A}$, obtemos a matriz indentidade;

E) Nenhuma das anteriores

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

2018-03-28T19:25:42Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço gerado, espaço das colunas, espaço nulo
</div>
</div>

Seja $ A_{n \times n} $ uma matriz quadrada e $ A^T $ a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.

A) a dimensão do espaço das colunas de $\text{A}$ é igual a $\text{n}$ sse existe um vector $\text{b}$ de $\mathbb{R}^n$ tal que o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}$ é impossível;

B) as colunas de $\text{A}$ geram $\mathbb{R}^n$ sse $A^T$ não é invertível;

C) $\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}$ sse o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}$ tem infinitas soluções;

D) a dimensão do espaço das colunas de $A^T$ é estritamente menor que $\text{n}$ sse aplicando o método de Gauss-Jordan a $\text{A}$, obtemos a matriz indentidade;

E) Nenhuma das anteriores

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]

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Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

2018-03-28T19:25:04Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço das colunas, espaço nulo
</div>
</div>

Seja $ A_{n \times n} $ uma matriz quadrada e $ A^T $ a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.

A)a dimensão do espaço das colunas de $\text{A}$ é igual a $\text{n}$ sse existe um vector $\text{b}$ de $\mathbb{R}^n$ tal que o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}$ é impossível;

B)as colunas de $\text{A}$ geram $\mathbb{R}^n$ sse $A^T$ não é invertível;

C)$\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}$ sse o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}$ tem infinitas soluções;

D)a dimensão do espaço das colunas de $A^T$ é estritamente menor que $\text{n}$ sse aplicando o método de Gauss-Jordan a $\text{A}$, obtemos a matriz indentidade;

E)Nenhuma das anteriores

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Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

2018-03-28T18:50:05Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear
*MATERIA PRINCIPAL:
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE:
</div>
</div>

Seja $ A_{n \times n} $ uma matriz quadrada e $ A^T $ a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.

A)a dimensão do espaço das colunas de $\text{A}$ é igual a $\text{n}$ sse existe um vector $\text{b}$ de $\mathbb{R}^n$ tal que o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}$ é impossível;

B)as colunas de $\text{A}$ geram $\mathbb{R}^n$ sse $A^T$ não é invertível;

C)$\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}$ sse o sistema de equações $\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}$ tem infinitas soluções;

D)a dimensão do espaço das colunas de $A^T$ é estritamente menor que $\text{n}$ sse aplicando o método de Gauss-Jordan a $\text{A}$, obtemos a matriz indentidade;

E)Nenhuma das anteriores

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]

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Matrizes com valores próprios dominantes

2018-03-28T18:47:29Z

Ist12543:

Método da potência

2018-03-28T18:46:10Z

Ist12543:

Cociente de Rayleigh

2018-03-28T16:56:34Z

Ist12543:

Decomposição espetral

2018-03-28T16:53:00Z

Ist12543:

Caracteristica e espaço nulo de uma matriz

2018-03-28T16:50:50Z

Ist12543:

Valores próprios de matrizes simétricas

2018-03-28T16:46:36Z

Ist12543:

Álgebra linear

2018-03-28T16:43:30Z

Ist12543:

=Resolução de sistemas de equações lineares=
*[[Identificação de expressões lineares ]]
*[[Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas]]
*[[Soma da solução de um SEL 3 equações e 3 incógnitas]]
*[[Classificação dum SEL 3 equações e 3 incógnitas com 2 parâmetros]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]

=Método de eliminação de Gauss=
*[[Identificação da forma em cada escada de linhas]]
*[[Forma em escada de linhas com 1 como pivot]]
*[[Forma reduzida de uma matriz]]
*[[Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]

=Matrizes e vetores=
*[[Compatibilidade das operações matriciais]]
*[[Calculo algébrico de matrizes e vetores]]
*[[Propriedades de matrizes elementares 3$ \times$3]]
*[[Vetor combinação linear em $R^2$]]

=Inversão de matrizes=
*[[Matriz inversa 3 $ \times $ 3]]
*[[Inversa do produto de A com $B^T$]]
*[[Inversa do produto de 3 matrizes elementares 3$\times$3]]

*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL(2)]]

=Espaços lineares=

*[[Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais]]

*[[Subespaço de $R^3$]]

=Transformações lineares=

*[[Multiplicação por uma matriz]]

*[[Matriz canónica de uma transformação num espaço de matrizes 2$\times$2]]

*[[Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios]]

*[[Matriz canónica de uma transformação diferencial num espaço de polinómios]]

*[[Identificação geométrica de uma transformação linear]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^2$]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^2$ sem projeções]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^3$]]

*[[Inversa da composição de 2 transformações lineares]]

*[[Matriz da transformação de um paralelogramo]]

*[[Rotação de um quadrado fora da origem]]

*[[Teorema das matrizes invertíveis e transformações lineares]]

=Independência linear=
*[[Vetor combinação linear em $R^2$]]
*[[Número de vetores linearmente independentes]]
*[[Conjuntos linearmente independentes em $R^4$]]

=Bases e dimensão=
*[[Dimensão de um subespaço de $R^4$]]
*[[Dimensão de um subespaço]]
*[[Teorema da dimensão]]

*[[Representação numa base de polinómios]]

*[[Representação numa base de $R^2$]]

*[[Representação numa base dum plano de $R^3$]]

=Núcleo e contradomínio de uma transformação linear=

*[[Vetores na imagem de uma transformação de $R^2$ para $R^3$]]
*[[Projeção de um cubo]]

=Aplicações a equações diferenciais lineares=
*[[Trajetórias para valores próprios reais]]

=Produtos internos e normas=

*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]
*[[Propriedades do produto interno e externo]]

=Bases ortogonais e ortogonalização de Gram-Schmidt=
*[[Base ortonormal para um subespaço de $R^3$]]
*[[Ortonormalização duma base(Gram-Schmidt)]]

=Complementos ortogonais e projeções=

*[[Base do complemento ortogonal de subespaço de $R^3$]]
*[[Distância de vetor a um plano]]
*[[Distância de vetor a uma reta]]

=Equações de retas e planos=
=Mínimos quadrados=
=Determinantes e aplicações=
*[[Cálculo do determinante de uma matriz 4$\times$4]]

*[[Propriedades de matrizes com determinante igual a 1]]

*[[Cálculo da área de um paralelogramo]]

*[[Cálculo do volume de um paralelepípedo]]

*[[Regra de Cramer]]

*[[Polinómio característico e diagonalização]]

=Valores e vetores próprios=
*[[Valores próprios complexos na transformação de um quadrado]]
*[[Valores próprios da transformação de um quadrado]]
*[[Valores próprios de uma matriz 3X3]]
*[[Reconstruir uma matriz 2X2]]
*[[Matriz companheira]]
*[[Identificar vetores próprios de uma matriz 3X3]]
*[[Vetor próprio de matriz com parâmetro]]
*[[Caracteristica e espaço nulo de uma matriz]]
*[[Valores próprios de matrizes simétricas]]
*[[Matriz de rotação com escala]]
*[[A rotação escondida na matriz $A$]]

=Subespaços invariantes=
=Diagonalização de matrizes=

*[[Polinómio característico e diagonalização]]
*[[Identificar matrizes diagonalizáveis]]
*[[Ação de uma matriz diagonalizável]]
*[[Decomposição espetral]]

=Transformações hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias=
=Formas quadráticas=
*[[Classificação de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Propriedades de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Classificação de formas quadráticas em $R^3$]]

=Aplicações=
*[[Matriz de transição de uma cadeia de Markov]]
*[[Previsão numa cadeia de Markov]]
*[[Vetor estacionário de uma cadeia de Markov]]
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase]]
*[[Trajetórias num sistema dinâmico discreto]]
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais]]

=Métodos numéricos=
*[[Cociente de Rayleigh]]
*[[Método da potência]]
*[[Matrizes com valores próprios dominantes]]

Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais

2018-03-28T14:22:17Z

Ist12543:

Trajetórias num sistema dinâmico discreto

2018-03-28T14:20:52Z

Ist12543:

Atratores e repulsores no espaço de fase

2018-03-28T14:19:37Z

Ist12543:

Vetor estacionário de uma cadeia de Markov

2018-03-28T14:17:30Z

Ist12543:

Matriz de transição de uma cadeia de Markov

2018-03-28T14:09:10Z

Ist12543:

Previsão numa cadeia de Markov

2018-03-28T14:07:35Z

Ist12543:

Previsão numa cadeia de Markov

2018-03-28T14:07:18Z

Ist12543:

Matriz de transição de uma cadeia de Markov

2018-03-28T14:06:39Z

Ist12543:

Identificar matrizes diagonalizáveis

2018-03-28T14:00:42Z

Ist12543:

Ação de uma matriz diagonalizável

2018-03-28T13:59:50Z

Ist12543:

Propriedades de formas quadráticas em $R^2$

2018-03-28T13:56:16Z

Ist12543:

Classificação de formas quadráticas em $R^2$

2018-03-28T13:54:11Z

Ist12543:

Cálculo diferencial e integral II

2018-03-28T13:52:08Z

Ist12543:

=Estrutura algébrica e topológica de $R^n$=
*[[Área de um triângulo]]
*[[Conjuntos em $R^2$]]
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]
*[[Identificação da representação do domínio]]
*[[Normas de matrizes e vetores]]
*[[Propriedades do produto interno e externo]]

=Funções de $R^n$ em $R^m$: limite e continuidade=
*[[Transformação de um quadrado]]
*[[Identificação da representação algébrica a partir do gráfico]]
*[[Curvas de nível]]
*[[Identificar função a partir de curvas]]
*[[Cálculo de limite]]
*[[Superfície paramétrica]]
*[[Teoria sobre continuidade]]
*[[Grafico campo vetorial]]

=Funções de $R^n$ em $R^m$: diferenciabilidade=
*[[Equação do plano tangente]]
*[[Normal ao plano tangente]]
*[[Identificação de curva paramétrica]]

=Derivadas parciais=
*[[Derivada parcial]]
*[[Gráficos derivadas parciais]]
*[[Derivada direcional]]
*[[Identificação de funções harmónicas]]
*[[Funções que satisfazem a equação de onda]]

=Derivada da função composta=
=Teorema de Taylor em $R^n$ e estudo de extremos=

=Teoremas da função inversa e da função implícita =
*[[Invertibilidade numa vizinhança]]

=Extremos condicionados=
*[[Classificação de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Propriedades de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Classificação de formas quadráticas]]

= Integrais múltiplos: Teorema de Fubini=
*[[Coordenadas cartesianas]]
*[[Cálculo de integral triplo]]
*[[Cálculo de integral duplo]]
*[[Integral triplo sobre pirâmide]]
*[[Mudança da ordem de integração]]
*[[Coordenadas polares]]

=Teorema de mudança de variáveis=
*[[Mudança da ordem de integracao polares]]

=Aplicações ao cálculo de grandezas físicas=
*[[Valor médio de uma função num paralelipipedo]]
*[[Cálculo de volume de revolução]]

=Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais=
*[[Cálculo de curva paramétrica]]
*[[Integral de linha]]

=Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha=
*[[Campo gradiente]]

=Campos gradientes e potenciais escalares=
*[[Campo]]
*[[Campo integrais]]
*[[Gradiente, rotacional e divergente]]
*[[Campos conservativos em $R^3$]]
*[[Laplaciano]]

=Teorema de Green=
=Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais=
*[[Área de um triângulo]]
*[[Area de superfície de revolução]]

= Teorema da Divergência e teorema de Stokes=
*[[Superficies regioes]]

= Complementos=
*[[Formas diferenciais]]

Decomposição espetral

2018-03-26T17:35:30Z

Ist12543:

Decomposição espetral

2018-03-26T17:32:13Z

Ist12543:

Álgebra linear

2018-03-26T17:31:16Z

Ist12543: /* A definir */

=Resolução de sistemas de equações lineares=
*[[Identificação de expressões lineares ]]
*[[Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas]]
*[[Soma da solução de um SEL 3 equações e 3 incógnitas]]
*[[Classificação dum SEL 3 equações e 3 incógnitas com 2 parâmetros]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]

=Método de eliminação de Gauss=
*[[Identificação da forma em cada escada de linhas]]
*[[Forma em escada de linhas com 1 como pivot]]
*[[Forma reduzida de uma matriz]]
*[[Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]

=Matrizes e vetores=
*[[Compatibilidade das operações matriciais]]
*[[Calculo algébrico de matrizes e vetores]]
*[[Propriedades de matrizes elementares 3$ \times$3]]
*[[Vetor combinação linear em $R^2$]]

=Inversão de matrizes=
*[[Matriz inversa 3 $ \times $ 3]]
*[[Inversa do produto de A com $B^T$]]
*[[Inversa do produto de 3 matrizes elementares 3$\times$3]]

*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL(2)]]

=Espaços lineares=

*[[Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais]]

*[[Subespaço de $R^3$]]

=Transformações lineares=

*[[Multiplicação por uma matriz]]

*[[Matriz canónica de uma transformação num espaço de matrizes 2$\times$2]]

*[[Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios]]

*[[Matriz canónica de uma transformação diferencial num espaço de polinómios]]

*[[Identificação geométrica de uma transformação linear]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^2$]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^2$ sem projeções]]

*[[Composição de 3 transformações lineares em $R^3$]]

*[[Inversa da composição de 2 transformações lineares]]

*[[Matriz da transformação de um paralelogramo]]

*[[Rotação de um quadrado fora da origem]]

*[[Teorema das matrizes invertíveis e transformações lineares]]

=Independência linear=
*[[Vetor combinação linear em $R^2$]]
*[[Número de vetores linearmente independentes]]
*[[Conjuntos linearmente independentes em $R^4$]]

=Bases e dimensão=
*[[Dimensão de um subespaço de $R^4$]]
*[[Dimensão de um subespaço]]
*[[Teorema da dimensão]]

*[[Representação numa base de polinómios]]

*[[Representação numa base de $R^2$]]

*[[Representação numa base dum plano de $R^3$]]

=Núcleo e contradomínio de uma transformação linear=

*[[Vetores na imagem de uma transformação de $R^2$ para $R^3$]]
*[[Projeção de um cubo]]

=Aplicações a equações diferenciais lineares=
*[[Trajetórias para valores próprios reais]]

=Produtos internos e normas=

*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]
*[[Propriedades do produto interno e externo]]

=Bases ortogonais e ortogonalização de Gram-Schmidt=
*[[Base ortonormal para um subespaço de $R^3$]]
*[[Ortonormalização duma base(Gram-Schmidt)]]

=Complementos ortogonais e projeções=

*[[Base do complemento ortogonal de subespaço de $R^3$]]
*[[Distância de vetor a um plano]]
*[[Distância de vetor a uma reta]]

=Equações de retas e planos=
=Mínimos quadrados=
=Determinantes e aplicações=
*[[Cálculo do determinante de uma matriz 4$\times$4]]

*[[Propriedades de matrizes com determinante igual a 1]]

*[[Cálculo da área de um paralelogramo]]

*[[Cálculo do volume de um paralelepípedo]]

*[[Regra de Cramer]]

*[[Polinómio característico e diagonalização]]

=Valores e vetores próprios=
*[[Valores próprios complexos na transformação de um quadrado]]

*[[Valores próprios da transformação de um quadrado]]

*[[Valores próprios de uma matriz 3X3]]
*[[Reconstruir uma matriz 2X2]]
*[[Matriz companheira]]
*[[Identificar vetores próprios de uma matriz 3X3]]
*[[Vetor próprio de matriz com parâmetro]]
*[[Valores próprios de matrizes simétricas]]
*[[Matriz de rotação com escala]]
*[[A rotação escondida na matriz $A$]]

=Subespaços invariantes=
=Diagonalização de matrizes=

*[[Polinómio característico e diagonalização]]
*[[Identificar matrizes diagonalizáveis]]
*[[Ação de uma matriz diagonalizável]]

=Transformações hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias=
=Formas quadráticas=
*[[Classificação de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Propriedades de formas quadráticas em $R^2$]]
*[[Classificação de formas quadráticas em $R^3$]]

=Aplicações=
*[[Matriz de transição de uma cadeia de Markov]]

*[[Previsão numa cadeia de Markov]]

*[[Vetor estacionário de uma cadeia de Markov]]

*[[Atratores e repulsores no espaço de fase]]

*[[Trajetórias num sistema dinâmico discreto]]

*[[Decomposição espetral]]

=Métodos numéricos=
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais]]
*[[Cociente de Rayleigh]]
*[[Caracteristica e espaço nulo de uma matriz]]
*[[Método da potência]]
*[[Matrizes com valores próprios dominantes]]

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

2018-03-26T17:29:30Z

Ist12543:

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

2018-03-26T17:28:47Z

Ist12543:

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

2018-03-26T17:26:24Z

Ist12543:

Integral de linha

2018-03-26T16:54:28Z

Ist12543:

Campos conservativos em $R^3$

2018-03-26T16:51:23Z

Ist12543:

Laplaciano

2018-03-26T16:47:57Z

Ist12543:

Cálculo de integral duplo

2018-03-26T16:44:09Z

Ist12543:

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

2018-03-26T16:28:47Z

Ist12543:

Formas diferenciais

2018-03-26T16:23:06Z

Ist12543:

Superficies regioes

2018-03-26T16:22:10Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes
</div>
</div>

Seja S a superfície $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}$ e $\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ uma função de classe $\text{C}^1$ tal que $\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}$ onde $\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A) $\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

B) $\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi$, onde $\text{C}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}$ percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.

C) $\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária interior.

D) $\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi$, onde $\text{V}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}$.

E) Nenhuma das anteriores

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Superficies regioes

2018-03-26T16:20:27Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes
</div>
</div>

Seja S a superfície $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}$ e $\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ uma função de classe $\text{C}^1$ tal que $\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}$ onde $\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A) $\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

B) $\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi$, onde $\text{C}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}$ percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.

C) $\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária interior.

D) $\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi$, onde $\text{V}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}$.

E) Nenhuma das anteriores

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Superficies regioes

2018-03-26T16:16:45Z

Ist12543:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
*DESCRICAO:
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes
</div>
</div>

Seja S a superfície $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}$ e $\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ uma função de classe $\text{C}^1$ tal que $\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}$ onde $\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A) $\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

B) $\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi$, onde $\text{C}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}$ percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.

C) $\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária interior.

D) $\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi$, onde $\text{V}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}$.

E) Nenhuma das anteriores

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Cálculo diferencial e integral II

2018-03-26T16:12:12Z

Ist12543:

=Estrutura algébrica e topológica de $R^n$=
*[[Área de um triângulo]]
*[[Conjuntos em $R^2$]]
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]
*[[Identificação da representação do domínio]]
*[[Normas de matrizes e vetores]]
*[[Propriedades do produto interno e externo]]

=Funções de $R^n$ em $R^m$: limite e continuidade=
*[[Transformação de um quadrado]]
*[[Identificação da representação algébrica a partir do gráfico]]
*[[Curvas de nível]]
*[[Identificar função a partir de curvas]]
*[[Cálculo de limite]]
*[[Superfície paramétrica]]
*[[Teoria sobre continuidade]]
*[[Grafico campo vetorial]]

=Funções de $R^n$ em $R^m$: diferenciabilidade=
*[[Equação do plano tangente]]
*[[Normal ao plano tangente]]
*[[Identificação de curva paramétrica]]

=Derivadas parciais=
*[[Derivada parcial]]
*[[Gráficos derivadas parciais]]
*[[Derivada direcional]]
*[[Identificação de funções harmónicas]]
*[[Funções que satisfazem a equação de onda]]

=Derivada da função composta=
=Teorema de Taylor em $R^n$ e estudo de extremos=

=Teoremas da função inversa e da função implícita =
*[[Invertibilidade numa vizinhança]]

=Extremos condicionados=
*[[Classificação de formas quadráticas]]

= Integrais múltiplos: Teorema de Fubini=
*[[Coordenadas cartesianas]]
*[[Cálculo de integral triplo]]
*[[Cálculo de integral duplo]]
*[[Integral triplo sobre pirâmide]]
*[[Mudança da ordem de integração]]
*[[Coordenadas polares]]

=Teorema de mudança de variáveis=
*[[Mudança da ordem de integracao polares]]

=Aplicações ao cálculo de grandezas físicas=
*[[Valor médio de uma função num paralelipipedo]]
*[[Cálculo de volume de revolução]]

=Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais=
*[[Cálculo de curva paramétrica]]
*[[Integral de linha]]

=Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha=
*[[Campo gradiente]]

=Campos gradientes e potenciais escalares=
*[[Campo]]
*[[Campo integrais]]
*[[Gradiente, rotacional e divergente]]
*[[Campos conservativos em $R^3$]]
*[[Laplaciano]]

=Teorema de Green=
=Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais=
*[[Área de um triângulo]]
*[[Area de superfície de revolução]]

= Teorema da Divergência e teorema de Stokes=
*[[Superficies regioes]]

= Complementos=
*[[Formas diferenciais]]

Area de superfície de revolução

2018-03-26T14:10:07Z

Ist12543:

Area de superfície de revolução

2018-03-26T14:09:30Z

Ist12543:

Área de um triângulo

2018-03-26T14:08:24Z

Ist12543:

Laplaciano

2018-03-26T14:03:57Z

Ist12543:

Gradiente, rotacional e divergente

2018-03-26T13:59:02Z

Ist12543:

Gradiente, rotacional e divergente

2018-03-26T13:58:25Z

Ist12543:

Campos conservativos em $R^3$

2018-03-26T13:55:18Z

Ist12543:

Integral de linha

2018-03-26T13:53:02Z

Ist12543:

My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

Cálculo diferencial e integral I

Cálculo diferencial e integral I

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

Matrizes com valores próprios dominantes

Método da potência

Cociente de Rayleigh

Decomposição espetral

Caracteristica e espaço nulo de uma matriz

Valores próprios de matrizes simétricas

Álgebra linear

Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais

Trajetórias num sistema dinâmico discreto

Atratores e repulsores no espaço de fase

Vetor estacionário de uma cadeia de Markov

Matriz de transição de uma cadeia de Markov

Previsão numa cadeia de Markov

Previsão numa cadeia de Markov

Matriz de transição de uma cadeia de Markov

Identificar matrizes diagonalizáveis

Ação de uma matriz diagonalizável

Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)

Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)

Cálculo diferencial e integral II

Decomposição espetral

Decomposição espetral

Álgebra linear

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

Integral de linha

Campos conservativos em \(R^3\)

Laplaciano

Cálculo de integral duplo

Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)

Formas diferenciais

Superficies regioes

Superficies regioes

Superficies regioes

Cálculo diferencial e integral II

Area de superfície de revolução

Area de superfície de revolução

Área de um triângulo

Laplaciano

Gradiente, rotacional e divergente

Gradiente, rotacional e divergente

Campos conservativos em \(R^3\)

Integral de linha