My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

Sistemas de equações diferenciais lineares

2020-05-12T15:33:53Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem
*DESCRICAO: Dadas duas soluções para um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, identificar os seus valores próprios, vectores próprios, e vectores próprios generalizados.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, valor próprio, vector próprio
</div>
</div>

Seja \( \ \displaystyle \dfrac{d\overrightarrow{x}}{dt} = A \, \overrightarrow{x} \ \) um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, onde \( \ A \) é uma matriz \(4 \times 4\), tal que

\( \ \ \ \) \( \ \pmatrix{e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ -e^{-3t}} \ \) é solução do sistema

\( \ \ \ \) e que \( \ \pmatrix{e^{2t}(t-2) \\ e^{2t}(1-t) \\ e^{2t}(2t+2) \\ e^{2t}(-2t-1)} \ \) é solução do sistema

Então podemos concluir que:

A) \( \ -3 \) é valor próprio de \( \ A \).

B) \( \ \pmatrix{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1} \ \) é vector próprio de \( \ A \).

C) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-1 \\ 1 \\ -2 \\ 2} = \overrightarrow 0 \ \).

D) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-6 \\ 4 \\ 0 \\ 2} = \pmatrix{2 \\ -2 \\ 4 \\ -4} \ \).

E) nenhuma.

Sistemas de equações diferenciais lineares

2020-05-12T15:32:00Z

Ist13124: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..."

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Sistemas equações diferenciais lineares de primeira ordem
*DESCRICAO: Determinação das propriedades de uma matriz dada.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: sistemas lineares, matriz invertível, matriz diagonalizável
</div>
</div>

Seja \( \ \displaystyle \dfrac{d\overrightarrow{x}}{dt} = A \, \overrightarrow{x} \ \) um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, onde \( \ A \) é uma matriz \(4 \times 4\), tal que

\( \ \ \ \) \( \ \pmatrix{e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ 2e^{-3t} \\ -e^{-3t}} \ \) é solução do sistema

\( \ \ \ \) e que \( \ \pmatrix{e^{2t}(t-2) \\ e^{2t}(1-t) \\ e^{2t}(2t+2) \\ e^{2t}(-2t-1)} \ \) é solução do sistema

Então podemos concluir que:

A) \( \ -3 \) é valor próprio de \( \ A \).

B) \( \ \pmatrix{0 \\ -1 \\ 1 \\ -1} \ \) é vector próprio de \( \ A \).

C) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-1 \\ 1 \\ -2 \\ 2} = \overrightarrow 0 \ \).

D) \( \ (A-2I) \, \pmatrix{-6 \\ 4 \\ 0 \\ 2} = \pmatrix{2 \\ -2 \\ 4 \\ -4} \ \).

E) nenhuma.

Equações diferenciais não homogéneas de segunda ordem

2020-05-12T15:14:28Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem
*DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear não homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação ou para a sua equação homogénea correspondente, identificar outras soluções da equação e da sua homogénea correspondente.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Equações não homogéneas
</div>
</div>

Considere a equação diferencial \( \, y' ' + p(t) \, y' + q(t) \, y = g(t) \ \), onde \( \ p, q \ \) e \( \ g \ \), com \( \ g \neq 0 \ \), são funções contínuas em \( \ \mathbb{R} \).

Supondo que

\( \ \ \ \ \ y_1 \) é uma solução da equação homogénea correspondente

\( \ \ \ \ \) e que \( \ c \, y_2 \ \), com \( \ c \in \mathbb{R} \), é uma solução da equação homogénea correspondente,

podemos garantir que:

A) \( \ y_1 + y_2 \) é uma solução da equação homogénea correspondente.

B) \( \ c_1 y_1 + c_2 y_2 \) (com \( \ c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)) é uma solução da equação homogénea correspondente.

C) \( \ 0 \) é uma solução da equação homogénea correspondente.

D) \( \ y_1 \) é uma solução da equação.

E) nenhuma.

Equações diferenciais não homogéneas de segunda ordem

2020-05-12T15:13:56Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem
*DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear não homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação ou para a sua equação homogénea correspondente, identificar soluções da equação e da sua homogénea correspondente.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Equações não homogéneas
</div>
</div>

Considere a equação diferencial \( \, y' ' + p(t) \, y' + q(t) \, y = g(t) \ \), onde \( \ p, q \ \) e \( \ g \ \), com \( \ g \neq 0 \ \), são funções contínuas em \( \ \mathbb{R} \).

Supondo que

\( \ \ \ \ \ y_1 \) é uma solução da equação homogénea correspondente

\( \ \ \ \ \) e que \( \ c \, y_2 \ \), com \( \ c \in \mathbb{R} \), é uma solução da equação homogénea correspondente,

podemos garantir que:

A) \( \ y_1 + y_2 \) é uma solução da equação homogénea correspondente.

B) \( \ c_1 y_1 + c_2 y_2 \) (com \( \ c_1, c_2 \in \mathbb{R}\)) é uma solução da equação homogénea correspondente.

C) \( \ 0 \) é uma solução da equação homogénea correspondente.

D) \( \ y_1 \) é uma solução da equação.

E) nenhuma.

Wronskiano de soluções de equações de segunda ordem

2020-05-10T16:08:11Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais lineares de segunda ordem
*DESCRICAO: Dada uma equação diferencial linear homogénea de segunda ordem e duas soluções genéricas para a equação, determinar o wronskiano de pares de soluções construídas a partir das soluções dadas.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações de segunda ordem, Equações homogéneas, Wronskiano
</div>
</div>

Considere a equação \( \, y' ' + e^t \, y' + t^2 \, y = 0 \ \) e suponha que \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são soluções da equação.

Então podemos garantir que:

A) Se \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são linearmente independentes, o wronskiano \( \ w(y_1, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ \), com \( \ c_2 \neq 0 \).

B) Se \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são linearmente independentes, o wronskiano \( \ w(c_1y_1, y_2) = 0 \ \), com \( \ c_1 \neq 0 \).

C) O wronskiano \( \ w(y_1, y_1) \neq 0 \ \).

D) O wronskiano \( \ w(y_2, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ \), com \( \ c_2 \neq 0 \).

E) nenhuma.

Wronskiano de soluções de equações de segunda ordem

2020-05-10T16:05:33Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes
*DESCRICAO: Dada uma solução de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas
</div>
</div>

Considere a equação \( \, y' ' + e^t \, y' + t^2 \, y = 0 \ \) e suponha que \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são soluções da equação.

Então podemos garantir que:

A) Se \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são linearmente independentes, o wronskiano \( \ w(y_1, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ \), com \( \ c_2 \neq 0 \).

B) Se \( \ y_1 \ \) e \( \ y_2 \ \) são linearmente independentes, o wronskiano \( \ w(c_1y_1, y_2) = 0 \ \), com \( \ c_1 \neq 0 \).

C) O wronskiano \( \ w(y_1, y_1) \neq 0 \ \).

D) O wronskiano \( \ w(y_2, c_2y_2) \neq e^{e^t} \ \), com \( \ c_2 \neq 0 \).

E) nenhuma.

Equações exactas e redutíveis a exactas

2020-05-10T15:58:16Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais exactas e redutíveis a exactas
*DESCRICAO: Detectar se certas equações dadas são ou não exactas, e se podem ser reduzidas a exactas por multiplicação de factores integrantes de formas definidas.
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: equação exacta
</div>
</div>

Indique as afirmações verdadeiras.

A) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)não é redutível a exacta com factor integrante que não depende de \( \ t \).

B) A equação \(\ \displaystyle -\Big(\dfrac{y}{(t+y)^2+1} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y}{(t+y)^2+1} \ \)não é exacta.

C) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)é redutível a exacta com factor integrante que não depende de \( \ y \).

D) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)é exacta.

E) Nenhuma

Equações exactas e redutíveis a exactas

2020-05-10T15:56:55Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Logaritmos complexos
*DESCRICAO: Utilização das propriedades básicas dos vários ramos do logaritmo complexo
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: logaritmos, ramo
</div>
</div>

Indique as afirmações verdadeiras.

A) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)não é redutível a exacta com factor integrante que não depende de \( \ t \).

B) A equação \(\ \displaystyle -\Big(\dfrac{y}{(t+y)^2+1} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y}{(t+y)^2+1} \ \)não é exacta.

C) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)é redutível a exacta com factor integrante que não depende de \( \ y \).

D) A equação \(\ \displaystyle \Big(\dfrac{2y}{(y^2+1)^2} \Big) \ \dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{2t}{(t^2+1)^2} \ \)é exacta.

E) Nenhuma

Propriedades da transformação de Laplace

2020-05-09T16:22:46Z

Ist13124:

Propriedades da transformação de Laplace

2020-05-09T16:22:28Z

Ist13124:

Propriedades da transformação de Laplace

2020-05-09T16:21:03Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis
*DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável
</div>
</div>

Sejam \( \ f:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ \) e \( \ g:[0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R} \ \) funções reais com transformadas de Laplace \( \ F \ \) e \( \ G \ \).

Então podemos garantir que:

A) \( \ f \, g \) tem transformada de Laplace \( \ F \, G \ \).

B) \( \ (\cos (t) \, f \) tem transformada de Laplace \( \ \dfrac{F \, s}{s^2 + 1} \ \).

C) \( \ c \, g \) tem transformada de Laplace \( \ c \, G \ \), para \( \ c \in \mathbb{R} \).

D) \( \ f-g \) tem transformada de Laplace \( \ F-G \ \).

E) nenhuma.

Propriedades da transformação de Laplace

2020-05-09T16:16:49Z

Matrizes diagonalizáveis e invertíveis

2020-05-09T16:14:43Z

Ist13124:

Matrizes diagonalizáveis e invertíveis

2020-05-09T16:13:27Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis
*DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável
</div>
</div>

Seja \( \ A = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0} \ \) uma matriz \( \ 3 \times 3 \).

Então:

A) \( \ A \) é uma matriz diagonalizável.

B) \( \ A \) é uma matriz invertível.

C) Existe uma matriz de mudança de base que transforma \( \ A \ \) em \( \ B = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2} \).

D) Existe uma matriz de mudança de base que transforma \( \ A \ \) em \( \ B = \pmatrix{0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} \).

E) nenhuma.

Matrizes diagonalizáveis e invertíveis

2020-05-09T16:12:40Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de primeira ordem separáveis
*DESCRICAO: Determinação de valores de função, derivadas e limites de soluções de problemas de valores iniciais dados.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: equação diferencial de primeira ordem, equação separável
</div>
</div>

Seja \( \ A = \pmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0} \ \) uma matriz \( \ 3 \times 3 \).

Então:

A) \( \ A \) é uma matriz diagonalizável.

B) \( \ A \) é uma matriz invertível.

C) Existe uma matriz de mudança de base que transforma \( \ A \ \) em \( \ B = \pmatrix{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2} \ \).

D) Existe uma matriz de mudança de base que transforma \( \ A \ \) em \( \ B = \pmatrix{0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0} \ \).

E) nenhuma.

Matrizes diagonalizáveis e invertíveis

2020-05-09T16:09:57Z

Equações de ordem superior a 2 com coeficientes constantes

2020-05-09T16:05:05Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de ordem superior a 2 homogéneas com coeficientes constantes
*DESCRICAO: Dada uma condição acerca das soluções de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas
</div>
</div>

Considere uma equação diferencial linear homogénea com coeficientes constantes de ordem \( \ n>8 \ \) tal que \( \ e^{2t} \, t \, \cos (t) \ \) não é solução da equação.

Então podemos garantir que:

A) \( \ e^{2t} \, t^2 \, \cos (t) \ \) é solução da equação.

B) \( \ e^{2t} \, t^2 \ \) não é solução da equação.

C) \( \ e^{2t} \, t^2 \, sen (t) \ \) não é solução da equação.

D) \( \ e^{2t} \, t \, sen (t) \ \) não é solução da equação.

E) nenhuma.

Equações de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes

2020-05-08T13:56:41Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Equações diferenciais de segunda ordem homogéneas com coeficientes constantes
*DESCRICAO: Dada uma solução de uma equação diferencial genérica, determinar se outras funções são ou não soluções.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: Equações com coeficientes constantes, Equações homogéneas
</div>
</div>

Seja \( \, ax' ' + bx' + cx = 0 \ \) uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes tal que \( \ e^{-2t} \, sen (t) \ \) é solução da equação.

Então podemos garantir que:

A) \( \ -2e^t \, t -e^t \ \) é solução da equação.

B) \( \ e^t \, t -2e^t \ \) é solução da equação.

C) \( \ e^t-e^t \, t \ \) é solução da equação.

D) \( \ 2e^t \, t \ \) não é solução da equação.

E) nenhuma.

Equações diferenciais de primeira ordem

2020-05-08T13:49:20Z

Ist13124:

Equações diferenciais de primeira ordem

2020-05-08T13:48:49Z

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:28:28Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa, fórmulas integrais de Cauchy
</div>
</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Classificação de singularidades

2020-05-07T16:27:48Z

Ist13124:

Classificação de singularidades

2020-05-07T16:26:28Z

Ist13124:

Classificação de singularidades

2020-05-07T16:25:44Z

Ist13124:

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:20:17Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Fórmulas integrais de Cauchy
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções inteiras e integrais sobre curvas fechadas a partir de uma instância da fórmula integral de Cauchy.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
</div>
</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:19:09Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
</div>
</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \ \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:18:56Z

Ist13124:

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'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
</div>
</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:18:46Z

Ist13124:

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'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
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</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:17:59Z

Ist13124:

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'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
</div>
</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:17:32Z

Ist13124:

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'''Metadata'''
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*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
*DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
*PALAVRAS CHAVE: função holomorfa
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</div>

Seja \( f(z) \) uma função inteira tal que \( \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ \) para qualquer \( z \) tal que \( |z| \leq 1 \) (onde \( c \) é a circunferência de parametrização \( 2e^{i \theta} \), com \( \theta \in [0, 2\pi]\), percorrida uma vez no sentido directo).

Se \( \displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}\), temos

A) \( \ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi} \)

B) \( \ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi} \)

C) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

D) \( \ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ \), para \( c \) tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:07:39Z

Ist13124:

Fórmulas integrais de Cauchy

2020-05-07T16:07:14Z

Ist13124:

Raios de convergência de séries de potências

2020-05-06T14:39:19Z

Ist13124:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Rui Miguel Saramago
*MATERIA PRINCIPAL: Séries de potências complexas
*DESCRICAO: Determinar raios de convergência e propriedades de algumas séries de potências complexas a partir da convergência de uma dada série.
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: séries de potências, funções ançíticas, funções holomorfas
</div>
</div>

Sabendo que a série de potências complexas \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^{2n} \) tem raio de convergência \( r \), com \( r \neq 0 \), podemos garantir que

A) \( f(z) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n^2} (z-z_0)^{n} \) tem derivada na origem.

B) A função \( f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} \) é analítica na origem.

C) \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_{n^2} (z-z_0)^{n} \) tem raio de convergência \( 0 \).

D) \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} a_{2n} (z-z_0)^{n} \) tem raio de convergência \( 2r \).

E) Nenhuma das anteriores.

Raios de convergência de séries de potências

2020-05-06T14:36:48Z

Ist13124:

Raios de convergência de séries de potências

2020-05-06T14:31:37Z

Ist13124:

Raios de convergência de séries de potências

2020-05-06T14:31:18Z

Ist13124:

Raios de convergência de séries de potências

2020-05-06T14:30:28Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:28:20Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:27:23Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:26:52Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:26:27Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:25:47Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:25:00Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:24:22Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-06T14:23:28Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-05T14:55:06Z

Ist13124:

Derivadas de funções holomorfas

2020-05-05T14:54:02Z

Ist13124: Limpou toda a página

Logaritmos complexos

2020-05-05T14:53:34Z

Ist13124:

Logaritmos complexos

2020-05-05T14:53:04Z

Ist13124:

Logaritmos complexos

2020-05-05T14:52:41Z

Ist13124: