My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

Matrizes com valores próprios dominantes

2019-05-29T19:30:15Z

Ist178052:

Método da potência

2019-05-29T19:28:53Z

Ist178052:

Cociente de Rayleigh

2019-05-29T19:26:28Z

Ist178052:

Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios

2018-12-16T19:40:48Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Transformações lineares
*DESCRICAO: matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: transformação entre espaços vetoriais, transformação linear dada por um integral, matriz canónica, espaço vetorial de polinómios, bases canónicas
</div>
</div>

Sejam os espaços lineares $ \mathcal{P}_2 $ e $ \mathcal{P}_3 $ dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2 e a 3, respetivamente, e a transformação linear definida por

$\begin{array}{cccc}T:&\mathcal{P}_2&\longrightarrow&\mathcal{P}_3\\\text{}&f(t)&\text{$\longrightarrow$}&-3\underset{0}{\overset{t}{\int}}f(x)dx+3f(t)\\\end{array}$

A matriz canónica que representa T é dada por:

A) $\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&1&0\\0&-\frac{1}{2}&1\\0&0&-\frac{1}{3}\\\end{array}\right)$;
B)
$\left(\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-\frac{1}{2}&0\\0&0&1&-\frac{1}{3}\\\end{array}\right)$;
C)
$\left(\begin{array}{cccc}0&0&-1&1\\0&-\frac{1}{2}&1&0\\-\frac{1}{3}&1&0&0\\\end{array}\right)$;
D)$\left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\1&-\frac{1}{2}&0\\0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&1\\\end{array}\right)$

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Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)

2018-12-07T17:02:45Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Introdução à regressão linear simples
*DESCRICAO: Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: regressão linear simples, estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
</div>
</div>

A densidade relativa de certa madeira é descrita pela variável $x$ e a força máxima necessária para o seu esmagamento em compressão paralela ao grão é representada pela variável aleatória $ Y $ (em psi). Uma amostra de dimensão $8$ conduziu aos seguintes valores:

$\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i}$ = 3.44 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i^2}$ = 1.4844 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i}$ = 28719 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i^2}$ = 103993367 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i \, y_i}$ = 12415
onde $ [min_{i=1,...,8}x_i, max_{i=1,...,8}x_i] = [$$0.39$$ ,$$0.47$$ ] $. Preencha a caixa abaixo com o valor da estimativa de mínimos quadrados de $ E(Y|x=$ $0.43$$ ) $ com, pelo menos, 4 casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/1414448694711737]

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Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)

2018-12-07T17:02:19Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Introdução à regressão linear simples
*DESCRICAO: Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: regressão linear simples, estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
</div>
</div>

A densidade relativa de certa madeira é descrita pela variável $x$ e a força máxima necessária para o seu esmagamento em compressão paralela ao grão é representada pela variável aleatória $ Y $ (em psi). Uma amostra de dimensão $8$ conduziu aos seguintes valores:

$\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i}$ = 3.44 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i^2}$ = 1.4844 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i}$ = 28719 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i^2}$ = 103993367 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i \, y_i}$ = 12415
onde $ [min_{i=1,...,8}x_i, max_{i=1,...,8}x_i] = [$$0.39$$ ,$$0.47$$ ] $. Preencha a caixa abaixo com o valor da estimativa de mínimos quadrados de $ E(Y|x=$ $0.43$$ ) $ com, pelo menos, 4 casas decimais.

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Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)

2018-12-07T17:02:04Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Introdução à regressão linear simples
*DESCRICAO: Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: regressão linear simples, estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
</div>
</div>

A densidade relativa de certa madeira é descrita pela variável x e a força máxima necessária para o seu esmagamento em compressão paralela ao grão é representada pela variável aleatória $ Y $ (em psi). Uma amostra de dimensão $8$ conduziu aos seguintes valores:

$\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i}$ = 3.44 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i^2}$ = 1.4844 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i}$ = 28719 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i^2}$ = 103993367 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i \, y_i}$ = 12415
onde $ [min_{i=1,...,8}x_i, max_{i=1,...,8}x_i] = [$$0.39$$ ,$$0.47$$ ] $. Preencha a caixa abaixo com o valor da estimativa de mínimos quadrados de $ E(Y|x=$ $0.43$$ ) $ com, pelo menos, 4 casas decimais.

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Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)

2018-12-07T16:57:20Z

Ist178052: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..."

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Introdução à regressão linear simples
*DESCRICAO: Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: regressão linear simples, estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$
</div>
</div>

A densidade relativa de certa madeira é descrita pela variável x e a força máxima necessária para o seu esmagamento em compressão paralela ao grão é representada pela variável aleatória $ Y $ (em psi). Uma amostra de dimensão $8$ conduziu aos seguintes valores:

$\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i}$ = 3.44 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i^2}$ = 1.4844 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i}$ = 28719 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i^2}$ = 103993367 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i \, y_i}$ = 12415
onde $ [min_{i=1,...,\(8$ }x_i, max_{i=1,...,$8$ }x_i] = [\)$0.39$$ ,$$0.47$$ ] $. Preencha a caixa abaixo com o valor da estimativa de mínimos quadrados de $ E(Y|x=$ $0.43$$ ) $ com, pelo menos, 4 casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/288548787898746/download]

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Probabilidades e estatística

2018-12-07T16:38:34Z

Ist178052: /* Regressão linear simples */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste sobre parâmetro população de Poisson]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa resposta esperada (densidade relativa madeira)]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)

2018-12-07T16:06:49Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teste de ajustamento, distribuição uniforme discreta, valor p
</div>
</div>

Seja $X$ a variável aleatória que descreve o número semanal de ataques cibernéticos a um conjunto de servidores. Um engenheiro informaico defende a hipótese $H_0$ de que $X$ possui função de probabilidade $ P(X=x) = (x+1)(1-$$0.2$$)^x$$0.2$$^2, x=0,1,2$ ...
A contagem do número semanal de ataques cibernéticos a este conjunto de servidores, num período de $250$ semanas selecionadas casualmente, conduziu à seguinte tabela de frequências:
[[File:TabelaCiber.gif]]

Averigúe se $ H_0 $ é consistente com este conjunto de dados. Decida com base no valor-p.

A) Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B) Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C) Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D) Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

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Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)

2018-12-07T12:28:41Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teste de ajustamento, distribuição uniforme discreta, valor p
</div>
</div>

Seja $X$ a variável aleatória que descreve o número semanal de ataques cibernéticos a um conjunto de servidores. Um engenheiro informaico defende a hipótese $H_0$ de que $X$ possui função de probabilidade $ P(X=x) = (x+1)(1-$$0.2$$)^x$$0.2$$^2, x=0,1,2$ ...
A contagem do número semanal de ataques cibernéticos a este conjunto de servidores, num período de $250$ semanas selecionadas casualmente, conduziu à seguinte tabela de frequências:
[File:TabelaCiber.gif]

Averigúe se $ H_0 $ é consistente com este conjunto de dados. Decida com base no valor-p.

A) Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B) Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C) Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D) Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

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Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)

2018-12-07T12:27:34Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teste de ajustamento, distribuição uniforme discreta, valor p
</div>
</div>

Seja $X$ a variável aleatória que descreve o número semanal de ataques cibernéticos a um conjunto de servidores. Um engenheiro informaico defende a hipótese $H_0$ de que $X$ possui função de probabilidade $ P(X=x) = (x+1)(1-$$0.2$$)^x$$0.2$$^2, x=0,1,2$ ...
A contagem do número semanal de ataques cibernéticos a este conjunto de servidores, num período de $250$ semanas selecionadas casualmente, conduziu à seguinte tabela de frequências:
[File:TabelaCiber.gif]

Averigúe se $ H_0 $ é consistente com este conjunto de dados. Decida com base no valor-p.

A) Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B) Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C) Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D) Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

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Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)

2018-12-07T12:27:18Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teste de ajustamento, distribuição uniforme discreta, valor p
</div>
</div>

Seja $X$ a variável aleatória que descreve o número semanal de ataques cibernéticos a um conjunto de servidores. Um engenheiro informaico defende a hipótese $H_0$ de que $X$ possui função de probabilidade $ P(X=x) = (x+1)(1-$$0.2$$)^x$$0.2$$^2, x=0,1,2$ ...
A contagem do número semanal de ataques cibernéticos a este conjunto de servidores, num período de $250$ semanas selecionadas casualmente, conduziu à seguinte tabela de frequências:
[File:tabelaCiber.gif]

Averigúe se $ H_0 $ é consistente com este conjunto de dados. Decida com base no valor-p.

A) Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B) Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C) Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D) Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

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Ficheiro:TabelaCiber.gif

2018-12-07T12:27:11Z

Ist178052:

Probabilidades e estatística

2018-12-07T12:20:01Z

Ist178052: /* Testes de hipóteses */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste sobre parâmetro população de Poisson]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (ataques cibernéticos)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Teste sobre parâmetro população de Poisson

2018-11-25T14:51:08Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste sobre parâmetro população de Poisson
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: testes de hipóteses, distribuição de Poisson, valor p
</div>
</div>
O número de carros que passam em cada período de $1$ minuto(s) num determinado ponto de uma autoestrada é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de valor esperado $ \lambda $ desconhecido. Foi contabilizada a passagem de um total de $973$ carros no referido ponto da autoestrada no conjunto dos $100$ intervalos de $1$ minuto(s) selecionados ao acaso.
Confronte as hipóteses $ H_0 : \lambda =$$21$ e $ H_1 : \lambda >$ $21$, calculando para o efeito o valor-p.

A)Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B)Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C)Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D)Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787908647]

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Teste sobre parâmetro população de Poisson

2018-11-25T13:15:24Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Testes de hipóteses
*DESCRICAO: Teste sobre parâmetro população de Poisson
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: testes de hipóteses, distribuição de Poisson, valor p
</div>
</div>
O número de carros que passam em cada período de $1$ minuto(s) num determinado ponto de uma autoestrada é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de valor esperado $ \lambda $ desconhecido. Foi contabilizada a passagem de um total de $973$ carros no referido ponto da autoestrada no conjunto dos $100$ intervalos de $1$ minuto(s) selecionados ao acaso.
Confronte as hipóteses $ H_0 : \lambda = \lambda_0 $ e $ H_1 : \lambda > \lambda_0 $, calculando para o efeito o valor-p.

A)Rejeita-se para 1%, 5% e 10%

B)Rejeita-se para 5% e 10% e não se rejeita para 1%

C)Rejeita-se para 10% e não se rejeita para 1% e 5%

D)Não se rejeita para 1%, 5% e 10%

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787908647]

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Probabilidades e estatística

2018-11-25T13:10:47Z

Ist178052: /* Testes de hipóteses */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste sobre parâmetro população de Poisson]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama

2018-11-16T18:20:32Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Amostragem e estimação pontual
*DESCRICAO: Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: função de verosimilhança, estimativa de máxima verosimilhança, distribuição gama
</div>
</div>

Admita que os tempos (em centena de hora) entre avarias consecutivas de um sistema são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas à variável aleatória $X$ com função de densidade de probabilidade dada por

[[File:Gama.gif]]

onde $ \lambda $ é um parâmetro desconhecido positivo. A concretização de uma amostra aleatória de dimensão $50$ de $X$ conduziu a $\pmb{\sum_{i=1}^{50}x_i}$=$518.45$. Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança de $ \lambda $. Preencha a caixa abaixo com o resultado obtido com, pelo menos, três casas decimais.

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Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama

2018-11-15T19:46:30Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Amostragem e estimação pontual
*DESCRICAO: Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: função de verosimilhança, estimativa de máxima verosimilhança, distribuição gama
</div>
</div>

Admita que os tempos (em centena de hora) entre avarias consecutivas de um sistema são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas à variável aleatória $X$ com função de densidade de probabilidade dada por

[[File:Gama.gif]]

onde $\Lambda$ é um parâmetro desconhecido positivo. A concretização de uma amostra aleatória de dimensão $50$ de $X$ conduziu a $\pmb{\sum_{i=1}^{50}x_i}$=$518.45$. Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança de \(\Lambda). Preencha a caixa abaixo com o resultado obtido com, pelo menos, três casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787907038]

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Ficheiro:Gama.gif

2018-11-15T19:43:48Z

Ist178052:

Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama

2018-11-15T19:42:42Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Amostragem e estimação pontual
*DESCRICAO: Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: função de verosimilhança, estimativa de máxima verosimilhança, distribuição gama
</div>
</div>

Admita que os tempos (em centena de hora) entre avarias consecutivas de um sistema são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas à variável aleatória $X$ com função de densidade de probabilidade dada por ...

onde \[Lambda] é um parâmetro desconhecido positivo. A concretização de uma amostra aleatória de dimensão $50$ de $X$ conduziu a $\pmb{\sum_{i=1}^{50}x_i}$=$518.45$. Obtenha a estimativa de máxima verosimilhança de \[Lambda]. Preencha a caixa abaixo com o resultado obtido com, pelo menos, três casas decimais.

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Probabilidades e estatística

2018-11-15T19:41:17Z

Ist178052: /* Amostragem e estimação pontual */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição gama]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Rotação de um quadrado fora da origem

2018-11-04T12:27:32Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Transformações lineares
*DESCRICAO: rotação de um quadrado fora da origem
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 20 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: transformação linear, coordenadas homogéneas, rotação fora da origem, translações, composição de transformações
</div>
</div>
Considere a seguinte rotação em $\frac{\pi}{2}$ radianos do quadrado mais claro em torno do ponto $\left[\begin{array}{c}1\\1\\\end{array}\right]$, que resulta no quadrado mais escuro.
[[File:Rotation.gif]]

Indique a matriz responsável por esta rotação.

A)$\left(\begin{array}{ccc}0&-1&2\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$,
B)$\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$,
C)$\left(\begin{array}{ccc}0&-1&-2\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right)$,
D)$\left(\begin{array}{ccc}0&-1&1\\1&0&1\\0&0&1\\\end{array}\right)$

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Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$

2018-10-27T12:29:52Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos
*DESCRICAO: Par aleatório contínuo - cálculo de P(X>Y)
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: par aleatório contínuo função de densidade de probabilidade
conjunta
</div>
</div>
Seja $ (X,Y) $ um par aleatório, em que $X$ e $Y$ representam o diâmetro interior e o comprimento de um pinoguia, respetivamente. Admita que a função de densidade de probabilidade conjunta de $ (X,Y) $ é dada por

[[File:Fxramos.gif]]

Determine $ P(X>Y) $. Indique o resultado com, pelo menos, três casas decimais.

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Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Ficheiro:Fxramos.gif

2018-10-27T12:27:52Z

Ist178052:

Probabilidades e estatística

2018-10-27T12:25:30Z

Ist178052: /* Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de $P(X \gt Y)$]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Probabilidades e estatística

2018-10-27T12:23:07Z

Ist178052: /* Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Par aleatório contínuo - cálculo de P(X>Y)]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Distribuição exponencial - paragens não programadas

2018-10-09T12:32:52Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Variáveis aleatórias e distribuições contínuas
*DESCRICAO: Distribuição exponencial — paragens não programadas
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: distribuição exponencial
</div>
</div>

Paragens não programadas de uma máquina industrial de corte e gravação a laser em uso contínuo ocorrem segundo um processo de Poisson com taxa mensal igual a $2.5$. Obtenha a probabilidade de o intervalo entre duas paragens não programadas consecutivas da máquina não exceder $3$ meses. Preencha a caixa abaixo com o resultado obtido com, pelo menos, três casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/1132973718068231]

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Distribuição exponencial - paragens não programadas

2018-10-09T10:25:30Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Variáveis aleatórias e distribuições contínuas
*DESCRICAO: Distribuição exponencial — paragens não programadas
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: distribuição exponencial
</div>
</div>

Paragens não programadas de uma máquina industrial de corte e gravação a laser em uso contínuo ocorrem segundo um processo de Poisson com taxa mensal igual a $2.5$. Obtenha a probabilidade de o intervalo entre duas paragens não programadas consecutivas da máquina naõ exceder $3$ meses. Preencha a caixa abaixo com o resultado obtido com, pelo menos, três casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787902844]

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Probabilidades e estatística

2018-10-09T10:23:02Z

Ist178052: /* Variáveis aleatórias e distribuições contínuas */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]
*[[Distribuição exponencial - paragens não programadas]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Distribuição normal - largura de um slot

2018-10-09T09:58:05Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Variáveis aleatórias e distribuições contínuas
*DESCRICAO: Distribuição de normal - largura de um slot
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: distribuição normal
</div>
</div>

A largura, X (em milímetro), de um slot para o forjamento de duralumínio possui distribuição normal com valor esperado $30$ mm e desvio padrão $0.6$ mm. Os limites de especificação para a largura desses slots são $30$±$1.014$ mm.
Qual é a probabilidade de a largura de um slot para o forjamento de duralumínio não cumprir os limites de especificação?

A) $0.091$,

B) $0.4981$,

C) $0.5019$,

D) $0.9971$

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Distribuição normal - largura de um slot

2018-10-09T09:56:28Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Variáveis aleatórias e distribuições contínuas
*DESCRICAO: Distribuição de normal - largura de um slot
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: distribuição normal
</div>
</div>

A largura, X (em milímetro), de um slot para o forjamento de duralumínio possui distribuição normal com valor esperado $30$ mm e desvio padrão $0.6$ mm. Os limites de especificação para a largura desses slots são $30$±$1.014$ mm.
Qual é a probabilidade de a largura de um slot para o forjamento de duralumínio não cumprir os limites de especificação?

A) $0.091$,

B) $0.4981$,

C) $0.5019$,

D) $0.9971$

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/1132973718059898/Ficha2P4NormalLaser.zip]

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Distribuição normal - tempo de vida de laser

2018-10-09T09:54:52Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Variáveis aleatórias e distribuições contínuas
*DESCRICAO: Distribuição de normal - tempo de vida de laser
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: distribuição normal, normal reduzida, função de distribuição
</div>
</div>
O tempo de vida de lasers de um dado tipo possui distribuição normal com valor esperado igual a $6725$ horas e desvio padrão igual a $590$ horas. A probabilidade de o tempo de vida de um desses lasers ser inferior a $5097$ horas é:

A) $0.0029$,

B) $0.4981$,

C) $0.5019$,

D) $0.9971$

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/1132973718059898/Ficha2P4NormalLaser.zip]

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Probabilidades e estatística

2018-10-09T09:53:44Z

Ist178052: /* Variáveis aleatórias e distribuições contínuas */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição normal - largura de um slot]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Teorema da probabilidade total - companhia seguradora

2018-10-02T11:42:07Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema da probabilidade total - companhia seguradora
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema da probabilidade total, probabilidade condicionada
</div>
</div>

Uma companhia seguradora distribui os segurados pelas classes A, B e C. As frações de segurados nas classes A, B e C são $0.3$,$0.4$ e $0.3$, respetivamente. A probabilidade de um segurado ter pelo menos um acidente durante um ano é $0.02$,$0.05$ e $0.1$, caso pertença à classe A, B e C, respetivamente.
Qual a probabilidade de um segurado, escolhido ao acaso, não ter acidentes durante um ano?

A) $0.056$,

B) $0.944$,

C) $0.17$,

D) $0.848$

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787902633]

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Teorema de Bayes - smartphone

2018-10-02T09:51:05Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema de Bayes - smartphone
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema de Bayes, probabilidade condicional
</div>
</div>

Um relatório anual estabelece que $48$% dos utilizadores de serviços móveis possuem um smartphone. A probabilidade de um utilizador aceder à internet através do seu telemóvel é igual a $77$% (respetivamente $5$%), se o utilizador possui um smartphone (respetivamente não possui um smartphone). Considere um utilizador de serviços móveis escolhido casualmente.
Qual é a probabilidade de esse utilizador possuir um smartphone, sabendo que acede à internet através do seu telemóvel?
Indique o resultado com pelo menos três casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787902645]

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Teorema de Bayes - smartphone

2018-10-02T09:49:06Z

Ist178052: Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata'''<div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..."

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema de Bayes - smartphone
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema de Bayes, probabilidade condicional
</div>
</div>

Um relatório anual estabelece que $48$% dos utilizadores de serviços móveis possuem um smartphone. A probabilidade de um utilizador aceder à internet através do seu telemóvel é igual a $77$% (respetivamente $5$%), se o utilizador possui um smartphone (respetivamente não possui um smartphone). Considere um utilizador de serviços móveis escolhido casualmente.
Qual é a probabilidade de esse utilizador possuir um smartphone, sabendo que acede à internet através do seu telemóvel?
Indique o resultado com pelo menos três casas decimais.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[]

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Probabilidades e estatística

2018-10-02T09:44:45Z

Ist178052: /* Noções básicas de probabilidade */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Teorema de Bayes - smartphone]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Teorema da probabilidade total - companhia seguradora

2018-10-02T09:12:04Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema da probabilidade total - companhia seguradora
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema da probabilidade total, probabilidade condicionada
</div>
</div>

Uma companhia seguradora distribui os segurados pelas classes A,B e C. As frações de segurados nas classes A,B e C são $0.3$,$0.4$ e $0.3$, respetivamente. A probabilidade de um segurado ter pelo menos um acidente durante um ano é $0.02$,$0.05$ e $0.1$, caso pertença à classe A,B e C, respetivamente.
Qual a probabilidade de um segurado, escolhido ao acaso, não ter acidentes durante um ano?

A) $0.056$,

B) $0.944$,

C) $0.17$,

D) $0.848$

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/download/288548787902633]

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Teorema da probabilidade total - companhia seguradora

2018-10-02T09:10:02Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema da probabilidade total - companhia seguradora
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema da probabilidade total, probabilidade condicionada
</div>
</div>

Uma companhia seguradora distribui os segurados pelas classes A,B e C. As frações de segurados nas classes A,B e C são $0.3$,$0.4$ e $0.3$, respetivamente. A probabilidade de um segurado ter pelo menos um acidente durante um ano é $0.02$,$0.05$ e $0.1$, caso pertença à classe A,B e C, respetivamente.
Qual a probabilidade de um segurado, escolhido ao acaso, não ter acidentes durante um ano?

A) $0.056$,

B) $0.944$,

C) $0.17$,

D) $0.848$

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[]

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

Teorema da probabilidade total - companhia seguradora

2018-10-02T09:07:58Z

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Noções básicas de Probabilidade
*DESCRICAO: Teorema da probabilidade total - companhia seguradora
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 min
*PALAVRAS CHAVE: teorema da probabilidade total, probabilidade condicionada
</div>
</div>

Uma companhia seguradora distribui os segurados pelas classes A,B e C. As frações de segurados nas classes A,B e C são $0.3$,$0.4$ e $0.3$, respetivamente. A probabilidade de um segurado ter pelo menos um acidente durante um ano é $0.02$,$0.05$ e $0.1$, caso pertença à classe A,B e C respetivamente.
Qual a probabilidade de um segurado, escolhido ao acaso, não ter acidentes durante um ano?

A) $0.056$,

B) $0.944$,

C) $0.17$,

D) $0.848$

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Probabilidades e estatística

2018-10-02T09:05:42Z

Ist178052: /* Noções básicas de probabilidade */

=Noções básicas de probabilidade=
*[[União de eventos - biblioteca]]
*[[Acontecimentos disjuntos - miscelânea]]
*[[Teorema da probabilidade composta - caixas com bolas]]
*[[Teorema da probabilidade total - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema da probabilidade total - companhia seguradora]]
*[[Teorema de Bayes - meteorologia e comparências]]
*[[Teorema de Bayes - fábrica de chips]]
*[[Acontecimentos independentes - aniversário]]
*[[Probabilidade condicionada e independência - miscelânia]]
*[[Probabilidade condicionada - dimensão e porosidade de peças]]

=Variáveis aleatórias e distribuições discretas=
*[[Distribuição binomial - surto de gripe]]
*[[Distribuição geométrica - palavras cruzadas]]
*[[Distribuição geométrica - registos fiscais]]
*[[Distribuição geométrica - veículos]]
*[[Distribuição de Poisson - companhia de seguros]]
*[[Distribuição de Poisson - paragens não programadas]]
*[[Distribuição hipergeométrica - azulejos]]

=Variáveis aleatórias e distribuições contínuas=
*[[Distribuição normal - tempo de vida de laser]]
*[[Distribuição exponencial - tempo de vida de componente]]

=Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos=
*[[Par aleatório discreto - função de distribuição marginal num ponto]]
*[[Par aleatório discreto - valor esperado de função de (X,Y)]]
*[[Par aleatório discreto - covariância]]
*[[Par aleatorio discreto - valor esperado condicional]]
*[[Par aleatório contínuo - identificação do contradomínio]]
*[[Combinações lineares - distribuições de Poisson]]
*[[Combinações lineares - distribuições binomiais]]
*[[Teorema do limite central - média dos tempos de atendimento]]
*[[Teorema do limite central - velocidade média de impacto]]

=Amostragem e estimação pontual=
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores]]
*[[Estimação pontual - eficiência relativa de estimadores (fábrica de automóveis)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição geométrica (deslocada)]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição exponencial]]
*[[Estimativa de máxima verosimilhança - distribuição de Weibull]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição de Poisson]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição exponencial]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição beta]]
*[[Propriedade de invariância dos estimadores de MV - distribuição binomial negativa]]

=Estimação por intervalos=
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância conhecida]]
*[[Intervalo de confiança para valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Intervalo de confiança para desvio padrão - população normal]]
*[[Intervalo de confiança para probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Intervalo de confiança para a diferença de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]

=Testes de hipóteses=
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida]]
*[[Teste sobre o valor esperado - população normal, variância desconhecida (pneus)]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações normais, variâncias desconhecidas mas iguais]]
*[[Teste sobre a igualdade de valores esperados - populações arbitrárias, variâncias desconhecidas]]
*[[Teste sobre probabilidade de sucesso - população de Bernoulli]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição uniforme discreta]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição discreta (plantas)]]
*[[Teste de ajustamento - distribuição exponencial (janela de vulnerabilidade)]]

=Regressão linear simples=
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_1$]]
*[[Regressão linear simples - estimativa de mínimos quadrados de $\beta_0$]]
*[[Regressão linear simples - teste de significância da regressão]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação]]
*[[Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)]]

Identificação de expressões lineares

2018-09-20T09:34:26Z

Ist178052:

Forma reduzida de uma matriz

2018-09-20T09:24:53Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Método de eliminação de Gauss
*DESCRICAO: Forma reduzida de uma matriz
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 12 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: método de eliminação de Gauss, forma reduzida da matriz, pivots 1
</div>
</div>

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan à matriz $\left(\begin{array}{cccc}3&3&4&-4\\-4&-1&3&4\\4&-4&1&-2\\\end{array}\right)$, identifique a sua forma reduzida.

A) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

B) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&\frac{95}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

C) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&\frac{159}{161}\\\end{array}\right)$,

D) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&\frac{176}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$

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Forma reduzida de uma matriz

2018-09-20T09:22:29Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Método de eliminação de Gauss
*DESCRICAO: Forma reduzida de uma matriz
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 12 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: método de eliminação de Gauss, forma reduzida da matriz, pivots 1
</div>
</div>

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan à matriz $\left(\begin{array}{cccc}3&3&4&-4\\-4&-1&3&4\\4&-4&1&-2\\\end{array}\right)$, identifique a sua forma reduzida.

A) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

B) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&\frac{95}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

C) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&\frac{159}{161}\\\end{array}\right)$,

D) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&\frac{176}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$

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Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas

2018-09-20T09:20:59Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Método de eliminação de Gauss
*DESCRICAO: Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 20 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 35 mn
*PALAVRAS CHAVE: método de eliminação de Gauss, entradas complexas, forma reduzida da matriz, pivots 1
</div>
</div>

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss-Jordan à matriz $\left(\begin{array}{cccc}1+i&2+2i&-2-2i&0\\2+2i&1+i&-2-2i&1+i\\1+i&0&2+2i&2+2i\\\end{array}\right)$ com entradas complexas, identifique a sua forma reduzida.

A) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&\frac{1}{2}\\\end{array}\right)$

B) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&\frac{34}{25}-\frac{12i}{25}\\0&1&0&-\frac{9}{25}+\frac{12i}{25}\\0&0&1&\frac{8}{25}+\frac{6i}{25}\\\end{array}\right)$

C) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&\frac{3}{2}\\\end{array}\right)$

D) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&\frac{9}{5}+\frac{2i}{5}\\0&1&0&-\frac{4}{5}+\frac{3i}{5}\\0&0&1&\frac{1}{10}+\frac{4i}{5}\\\end{array}\right)$

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Forma reduzida de uma matriz

2018-09-20T09:14:23Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Método de eliminação de Gauss
*DESCRICAO: Forma reduzida de uma matriz
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 12 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn
*PALAVRAS CHAVE: método de eliminação de Gauss, forma reduzida da matriz, pivots 1
</div>
</div>

Aplicando o Método de Eliminação de Gauss, reduza a matriz $\left(\begin{array}{cccc}3&3&4&-4\\-4&-1&3&4\\4&-4&1&-2\\\end{array}\right)$ a uma matriz em escada de linhas com 1 como pivot. A matriz obtida é:

A) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

B) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&\frac{95}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$,

C) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&-\frac{146}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&\frac{159}{161}\\\end{array}\right)$,

D) $\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&\frac{176}{161}\\0&1&0&-\frac{66}{161}\\0&0&1&-\frac{2}{161}\\\end{array}\right)$

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Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas

2018-09-20T09:08:51Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Álgebra Linear
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Resolução de sistemas de equações lineares
*DESCRICAO: Resolução de um SEL 3X3
*DIFICULDADE: **
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: sistema de equações lineares (SEL), variáveis ou incógnitas, solução única
</div>
</div>
Considere o sistema de equações lineares nas variáveis $x$,$y$ e $z$ definido pelas equações $2x+4y+4z$ = $0$ , $x+4y+z$=$6$ e $x-2y+3z$=$-10$. Quais são os valores de $x$,$y$ e $z$, respectivamente?

A) $\text{x=}$$0$$\text{,}$$\text{y=}$$2$$\text{,}$$\text{z=}$$-2$,

B) $\text{x=}$$2$$\text{,}$$\text{y=}$$0$$\text{,}$$\text{z=}$$4$,

C) $\text{x=}$$-3$$\text{,}$$\text{y=}$$-2$$\text{,}$$\text{z=}$$-3$,

D) $\text{x=}$$2$$\text{,}$$\text{y=}$$-1$$\text{,}$$\text{z=}$$4$

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Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)

2018-05-04T13:55:01Z

Ist178052:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Probabilidades e Estatística
*ANO: 2
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística
*MATERIA PRINCIPAL: Introdução à regressão linear simples
*DESCRICAO: Regressão linear simples - coeficiente de determinação (exposição a oxigénio seco)
*DIFICULDADE: *
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 min
*PALAVRAS CHAVE: regressão linear simples, coeficiente de determinação
</div>
</div>

A perda percentual de massa (Y) de uma certa substância metálica (quando exposta a oxigénio seco a $ 500ºC $ ) depende do período de exposição (x, em horas). Um conjunto de $8$ medições conduziram a:

$\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i}$ = 21.5 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_i^2}$ = 64.75 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i}$ = 0.264 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}y_i^2}$ = 0.009498 , $\pmb{\sum_{i=1}^{8}x_iy_i}$ = 0.7825

Preencha a caixa abaixo com o valor do coeficiente de determinação com, pelo menos, 4 casas decimais.

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My Solutions - Contribuições do utilizador [pt]

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