Condensador cilíndrico e método das imagens simétricas

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• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Física
• DISCIPLINA: Eletromagnetismo e Óptica
• ANO: 2
• LINGUA: pt
• AUTOR: Jorge Loureiro
• MATERIA PRINCIPAL: Eletrostática na matéria
• DESCRICAO: Determinação do campo e do potencial elétricos no espaço. Determinação da carga elétrica de polarização e da pressão eletrostática.
• DIFICULDADE: ****
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 min
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 min
• PALAVRAS CHAVE: campo elétrico, condensador, dielétrico, potencial, Poisson, esfera

1. A figura representa um condensador cilíndrico ideal (comprimento \( \gg \) diâmetro) com armaduras condutoras de raios \(R_1 = 2\text{ mm}\), \(R_2 = 8\text{ mm}\) e \(R_3 = 10\text{ mm}\). O espaço entre as armaduras está completamente preenchido com dois materiais dielétricos de permitividades diferentes: \( \epsilon_1 = 4\, \epsilon_0\) entre \(R_1\) e \(R'\), e \( \epsilon_2 = 2\, \epsilon_0 \), entre \(R'\) e \(R_2\), sendo \(R' = 4\text{ mm}\). As densidades de carga por unidade de comprimento nos condutores interior e exterior são, respetivamente, \( \lambda_1 = 0.1 \: \mu\text{C.m}^{-􀀀1}\) e \( \lambda_2 = 0.2 \: \mu\text{C.m}^{-􀀀1}\).
   1. Determine nestas condições o campo elétrico máximo em cada dielétrico e a capacidade, por unidade de comprimento, do condensador.
   2. Assumindo que o campo de rotura em ambos os dielétricos é \(E_{rot} = 200\text{ kV.cm}^{-􀀀1}\) (ou seja, a partir deste valor os dielétricos deixam passar corrente), determine a diferença de potencial máxima entre as armaduras para a operação normal do condensador.
2. Considere agora que este condensador é colocado paralelamente a um plano condutor infinito, ligado à Terra, a uma distância \(d\) do seu eixo. Determine a densidade de carga do plano nos pontos mais próximos do cabo coaxial. Apresente os resultado em função das densidades de carga \( \lambda_1 \) e \( \lambda_2 \) , não necessitando de realizar qualquer concretização numérica.