http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//mysolutions/wiki/api.php?action=feedcontributions&user=Ist12543&feedformat=atomMy Solutions - Contribuições do utilizador [pt]2024-03-29T04:49:06ZContribuições do utilizadorMediaWiki 1.35.2http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=C%C3%A1lculo_diferencial_e_integral_I&diff=4376Cálculo diferencial e integral I2018-04-05T14:51:12Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div>=Limites=<br />
*[[Limite de funções racionais]]<br />
*[[Funções com radicais]]<br />
*[[Transcendentais]]<br />
*[[Por Ramos]]<br />
=Derivadas=<br />
*[[Função composta]]<br />
*[[Produto de funções]]<br />
*[[Somas]]<br />
*[[Quocientes]]<br />
*[[Gráficos]]<br />
*[[Por ramos]]<br />
=Integrais de Riemann=<br />
*[[Aditividade do intervalo de integração]]<br />
*[[Propriedades do integral nulo]]<br />
*[[Combinação de áreas]]<br />
*[[Relação entre integrais e somas superiores e inferiores]]<br />
*[[Somas de Darboux 0-5n]]<br />
*[[Somas de Darboux em funções elementares]]<br />
*[[Propriedades do integral em relação á paridade]]<br />
*[[Manipulação de expressões com integral]]<br />
=Primitivação=<br />
*[[Problemas com valores iniciais]]<br />
*[[Area de curva]]<br />
*[[Área entre 2 gráficos]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=C%C3%A1lculo_diferencial_e_integral_I&diff=4374Cálculo diferencial e integral I2018-04-05T14:49:41Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div>=Limites=<br />
*[[Limite de funções racionais]]<br />
*[[Funções com radicais]]<br />
*[[Transcendentais]]<br />
*[[Por Ramos]]<br />
=Derivadas=<br />
*[[Função composta]]<br />
*[[Produto de funções]]<br />
*[[Somas]]<br />
*[[Quocientes]]<br />
*[[Gráficos]]<br />
*[[Por ramos]]<br />
=Integrais de Riemann=<br />
*[[Aditividade do intervalo de integração]]<br />
*[[Propriedades do integral nulo]]<br />
*[[Combinação de áreas]]<br />
*[[Relação entre integrais e somas superiores e inferiores]]<br />
*[[Somas de Darboux 0-5n]]<br />
*[[Somas de Darboux em funções elementares]]<br />
*[[Propriedades do integral em relação á paridade]]<br />
*[[Manipulação de expressões com integral]]<br />
*[[Area de curva]]<br />
*[[Área entre 2 gráficos]]<br />
=Primitivação=<br />
*[[Problemas com valores iniciais]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Teorema_das_matrizes_invert%C3%ADveis_e_espa%C3%A7os_matriciais&diff=4182Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais2018-03-28T19:27:42Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares<br />
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço gerado, espaço das colunas, espaço nulo<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \( A_{n \times n} \) uma matriz quadrada e \( A^T \) a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.<br />
<br />
<br />
A) a dimensão do espaço das colunas de \(\text{A}\) é igual a \(\text{n}\) sse existe um vector \(\text{b}\) de \(\mathbb{R}^n\) tal que o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}\) é impossível;<br />
<br />
B) as colunas de \(\text{A}\) geram \(\mathbb{R}^n\) sse \(A^T\) não é invertível;<br />
<br />
C) \(\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}\) sse o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}\) tem infinitas soluções;<br />
<br />
D) a dimensão do espaço das colunas de \(A^T\) é estritamente menor que \(\text{n}\) sse aplicando o método de Gauss-Jordan a \(\text{A}\), obtemos a matriz indentidade;<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Teorema_das_matrizes_invert%C3%ADveis_e_espa%C3%A7os_matriciais&diff=4180Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais2018-03-28T19:25:42Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares<br />
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais<br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço gerado, espaço das colunas, espaço nulo<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \( A_{n \times n} \) uma matriz quadrada e \( A^T \) a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.<br />
<br />
<br />
A) a dimensão do espaço das colunas de \(\text{A}\) é igual a \(\text{n}\) sse existe um vector \(\text{b}\) de \(\mathbb{R}^n\) tal que o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}\) é impossível;<br />
<br />
B) as colunas de \(\text{A}\) geram \(\mathbb{R}^n\) sse \(A^T\) não é invertível;<br />
<br />
C) \(\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}\) sse o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}\) tem infinitas soluções;<br />
<br />
D) a dimensão do espaço das colunas de \(A^T\) é estritamente menor que \(\text{n}\) sse aplicando o método de Gauss-Jordan a \(\text{A}\), obtemos a matriz indentidade;<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Teorema_das_matrizes_invert%C3%ADveis_e_espa%C3%A7os_matriciais&diff=4178Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais2018-03-28T19:25:04Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Espaços lineares<br />
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais<br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: teorema das matrizes invertíveis (TMI), matriz transposta, SEL possível e impossível, conjunto solução, bases e dimensão, espaço das colunas, espaço nulo<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \( A_{n \times n} \) uma matriz quadrada e \( A^T \) a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.<br />
<br />
<br />
A)a dimensão do espaço das colunas de \(\text{A}\) é igual a \(\text{n}\) sse existe um vector \(\text{b}\) de \(\mathbb{R}^n\) tal que o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}\) é impossível;<br />
<br />
B)as colunas de \(\text{A}\) geram \(\mathbb{R}^n\) sse \(A^T\) não é invertível;<br />
<br />
C)\(\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}\) sse o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}\) tem infinitas soluções;<br />
<br />
D)a dimensão do espaço das colunas de \(A^T\) é estritamente menor que \(\text{n}\) sse aplicando o método de Gauss-Jordan a \(\text{A}\), obtemos a matriz indentidade;<br />
<br />
E)Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Teorema_das_matrizes_invert%C3%ADveis_e_espa%C3%A7os_matriciais&diff=4176Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais2018-03-28T18:50:05Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Álgebra Linear<br />
*MATERIA PRINCIPAL: <br />
*DESCRICAO: TMI e espaços matriciais<br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \( A_{n \times n} \) uma matriz quadrada e \( A^T \) a sua transposta. Indique todas as afirmações correctas.<br />
<br />
<br />
A)a dimensão do espaço das colunas de \(\text{A}\) é igual a \(\text{n}\) sse existe um vector \(\text{b}\) de \(\mathbb{R}^n\) tal que o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{b}}\) é impossível;<br />
<br />
B)as colunas de \(\text{A}\) geram \(\mathbb{R}^n\) sse \(A^T\) não é invertível;<br />
<br />
C)\(\text{det(}A^T\text{)$\neq$0}\) sse o sistema de equações \(\text{A}\pmb{\text{x}}=\pmb{\text{0}}\) tem infinitas soluções;<br />
<br />
D)a dimensão do espaço das colunas de \(A^T\) é estritamente menor que \(\text{n}\) sse aplicando o método de Gauss-Jordan a \(\text{A}\), obtemos a matriz indentidade;<br />
<br />
E)Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973718065270/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matrizes_com_valores_pr%C3%B3prios_dominantes&diff=4174Matrizes com valores próprios dominantes2018-03-28T18:47:29Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Métodos numéricos<br />
*DESCRICAO: Identificar matrizes com um valor próprio dominante<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: valor próprio dominante<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Identifique todas as matrizes que têm um valor próprio dominante.<br />
<br />
A) \(\left(\begin{array}{cc}4&#038;0\\0&#038;-3\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(\left(\begin{array}{ccc}1&#038;0&#038;0\\0&#038;-2&#038;-4\\0&#038;0&#038;1\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) \(\left(\begin{array}{cc}0&#038;-4\\-4&#038;0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) \(\left(\begin{array}{ccc}0&#038;1&#038;0\\0&#038;4&#038;0\\0&#038;2&#038;-4\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(vapDominante)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=M%C3%A9todo_da_pot%C3%AAncia&diff=4172Método da potência2018-03-28T18:46:10Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Métodos numéricos<br />
*DESCRICAO: Método da potência<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 25 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz tridiagonal, valor próprio dominante, vetor próprio dominante,aproximação inicial, iterações<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere a matriz 5x5 tridiagonal com entradas \( a_{ii}= \) \(2\), \( i=1,2,...,5 \) ; \( a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = \) \(1\) , \( i=1,...,4 \). Sabendo que a aproximação inicial \(\pmb{x_0}\) \(=(0.5,0.8,1,0.8,0.5) \) está quase alinhada com o vetor próprio dominante da matriz, calcule até à quinta iterada o valor próprio dominante com pelo menos 2 casas decimais.<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(powerMethod)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Cociente_de_Rayleigh&diff=4170Cociente de Rayleigh2018-03-28T16:56:34Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Métodos numéricos<br />
*DESCRICAO: Cociente de Rayleigh<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: valor próprio dominante, vetor próprio dominante, cociente de Rayleigh<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Sabendo que \(\pmb{x}\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}-1.6\\1.6\\0\\\end{array}\right)\) é uma aproximação para um vetor próprio dominante da matriz \(A\), e \(A\)\(\pmb{x}\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}-3.2\\4.8\\0.\\\end{array}\right)\) determine uma aproximação para o valor próprio dominante de \(A\) que lhe está associado.<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(cociRayleigh)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Decomposi%C3%A7%C3%A3o_espetral&diff=4168Decomposição espetral2018-03-28T16:53:00Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Decomposição espetral para uma matriz 2x2<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: diagonalização ortogonal, valores próprios, vetores próprios, base ortonormal, espaços próprios, matriz de projeção <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere a decomposição espetral da matriz \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}14&#038;-6\\-6&#038;9\\\end{array}\right)\).<br />
<br />
\(A = \lambda_1 \)\(\pmb{u_1}\)\(\pmb{u_1^T}\) + \( \lambda_2 \)\(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\), com \( | \lambda_1 | > | \lambda_2 | \), em que os vetores \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) vêm das colunas da matriz \(P\) na diagonalização ortogonal de \(A\).<br />
Identifique todas as afirmações verdadeiras:<br />
<br />
<br />
A) \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) formam uma base ortonormal de \( \mathbb{R}^2 \)<br />
<br />
B) \(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\) é uma matriz de projeção num espaço próprio <br />
<br />
C) \(\left(\begin{array}{c}-9.3\\-8.6\\\end{array}\right)\) é vetor próprio de \(A\) com uma certa aproximação<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764587131/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Caracteristica_e_espa%C3%A7o_nulo_de_uma_matriz&diff=4166Caracteristica e espaço nulo de uma matriz2018-03-28T16:50:50Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Núcleo e contradomínio de uma transformação linear<br />
*DESCRICAO: Caracteristica e espaço nulo de uma matriz<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: característica de uma matriz, espaço nulo ou núcleo da transformação linear, espaço das colunas ou contradomínio da transformação linear<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \(A=\)\(\left(\begin{array}{ccc}3&#038;0&#038;-3\\1&#038;0&#038;-3\\-1&#038;0&#038;0\\\end{array}\right)\), então selecione todas as afirmações corretas:<br />
<br />
A) A característica de \(A\) é igual a 3 <br />
<br />
B) O vetor \(\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}\right)\) está no espaço nulo, ou núcleo, da matriz \(A\) <br />
<br />
C) Os vetores \(\left(\begin{array}{c}-3\\-1\\1\\\end{array}\right)\) e \(\left(\begin{array}{c}3\\3\\0\\\end{array}\right)\) estão no espaço das colunas de \(A\) <br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(MatrixRank)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Valores_pr%C3%B3prios_de_matrizes_sim%C3%A9tricas&diff=4164Valores próprios de matrizes simétricas2018-03-28T16:46:36Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Valores e vetores próprios<br />
*DESCRICAO: valores próprios de matrizes simétricas<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz simétrica, matriz diagonalizável, matriz singular, vetores próprios, base de vetores próprios, base ortogonal, valores próprios de matrizes de projeção, valores próprios de matrizes de reflexão<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Sabendo que \(A\) é uma matriz simétrica \(n \times n\), selecione todas as afirmações verdadeiras: <br />
<br />
<br />
A) \(\text{A}\) pode não ser diagonalizável<br />
<br />
B) \(\text{A}\) é uma matriz de projeção sse os seus valores próprios são -1, 0 e 1<br />
<br />
C) Existe sempre uma base ortogonal de vetores próprios de \(\text{A}\) que é uma base para \(\mathbb{R}^n\)<br />
<br />
D) \(\text{A}\) é uma matriz singular se pelo menos um dos seus valores próprios é 0<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717986710/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=%C3%81lgebra_linear&diff=4162Álgebra linear2018-03-28T16:43:30Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div>=Resolução de sistemas de equações lineares=<br />
*[[Identificação de expressões lineares ]]<br />
*[[Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas]]<br />
*[[Soma da solução de um SEL 3 equações e 3 incógnitas]]<br />
*[[Classificação dum SEL 3 equações e 3 incógnitas com 2 parâmetros]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]<br />
<br />
=Método de eliminação de Gauss=<br />
*[[Identificação da forma em cada escada de linhas]]<br />
*[[Forma em escada de linhas com 1 como pivot]]<br />
*[[Forma reduzida de uma matriz]]<br />
*[[Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]<br />
<br />
=Matrizes e vetores=<br />
*[[Compatibilidade das operações matriciais]]<br />
*[[Calculo algébrico de matrizes e vetores]]<br />
*[[Propriedades de matrizes elementares 3\( \times\)3]]<br />
*[[Vetor combinação linear em \(R^2\)]]<br />
<br />
=Inversão de matrizes=<br />
*[[Matriz inversa 3 \( \times \) 3]]<br />
*[[Inversa do produto de A com \(B^T\)]]<br />
*[[Inversa do produto de 3 matrizes elementares 3\(\times\)3]]<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL(2)]]<br />
<br />
<br />
=Espaços lineares=<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais]]<br />
<br />
*[[Subespaço de \(R^3\)]]<br />
<br />
=Transformações lineares=<br />
<br />
<br />
*[[Multiplicação por uma matriz]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação num espaço de matrizes 2\(\times\)2]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação diferencial num espaço de polinómios]]<br />
<br />
*[[Identificação geométrica de uma transformação linear]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\)]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\) sem projeções]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^3\)]]<br />
<br />
*[[Inversa da composição de 2 transformações lineares]]<br />
<br />
*[[Matriz da transformação de um paralelogramo]]<br />
<br />
*[[Rotação de um quadrado fora da origem]]<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e transformações lineares]]<br />
<br />
=Independência linear=<br />
*[[Vetor combinação linear em \(R^2\)]]<br />
*[[Número de vetores linearmente independentes]]<br />
*[[Conjuntos linearmente independentes em \(R^4\)]]<br />
<br />
=Bases e dimensão=<br />
*[[Dimensão de um subespaço de \(R^4\)]]<br />
*[[Dimensão de um subespaço]]<br />
*[[Teorema da dimensão]]<br />
<br />
*[[Representação numa base de polinómios]]<br />
<br />
*[[Representação numa base de \(R^2\)]]<br />
<br />
*[[Representação numa base dum plano de \(R^3\)]]<br />
<br />
=Núcleo e contradomínio de uma transformação linear=<br />
<br />
*[[Vetores na imagem de uma transformação de \(R^2\) para \(R^3\)]]<br />
*[[Projeção de um cubo]]<br />
<br />
=Aplicações a equações diferenciais lineares=<br />
*[[Trajetórias para valores próprios reais]]<br />
<br />
=Produtos internos e normas=<br />
<br />
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]<br />
*[[Propriedades do produto interno e externo]]<br />
<br />
=Bases ortogonais e ortogonalização de Gram-Schmidt=<br />
*[[Base ortonormal para um subespaço de \(R^3\)]]<br />
*[[Ortonormalização duma base(Gram-Schmidt)]]<br />
<br />
=Complementos ortogonais e projeções=<br />
<br />
*[[Base do complemento ortogonal de subespaço de \(R^3\)]]<br />
*[[Distância de vetor a um plano]]<br />
*[[Distância de vetor a uma reta]]<br />
<br />
=Equações de retas e planos= <br />
=Mínimos quadrados= <br />
=Determinantes e aplicações=<br />
*[[Cálculo do determinante de uma matriz 4\(\times\)4]]<br />
<br />
*[[Propriedades de matrizes com determinante igual a 1]]<br />
<br />
*[[Cálculo da área de um paralelogramo]]<br />
<br />
*[[Cálculo do volume de um paralelepípedo]]<br />
<br />
*[[Regra de Cramer]]<br />
<br />
*[[Polinómio característico e diagonalização]]<br />
<br />
=Valores e vetores próprios=<br />
*[[Valores próprios complexos na transformação de um quadrado]]<br />
*[[Valores próprios da transformação de um quadrado]]<br />
*[[Valores próprios de uma matriz 3X3]]<br />
*[[Reconstruir uma matriz 2X2]]<br />
*[[Matriz companheira]]<br />
*[[Identificar vetores próprios de uma matriz 3X3]]<br />
*[[Vetor próprio de matriz com parâmetro]]<br />
*[[Caracteristica e espaço nulo de uma matriz]]<br />
*[[Valores próprios de matrizes simétricas]]<br />
*[[Matriz de rotação com escala]]<br />
*[[A rotação escondida na matriz \(A\)]]<br />
<br />
=Subespaços invariantes=<br />
=Diagonalização de matrizes=<br />
<br />
*[[Polinómio característico e diagonalização]]<br />
*[[Identificar matrizes diagonalizáveis]]<br />
*[[Ação de uma matriz diagonalizável]]<br />
*[[Decomposição espetral]]<br />
<br />
=Transformações hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias= <br />
=Formas quadráticas=<br />
*[[Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Classificação de formas quadráticas em \(R^3\)]]<br />
<br />
=Aplicações=<br />
*[[Matriz de transição de uma cadeia de Markov]]<br />
*[[Previsão numa cadeia de Markov]]<br />
*[[Vetor estacionário de uma cadeia de Markov]]<br />
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase]]<br />
*[[Trajetórias num sistema dinâmico discreto]]<br />
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais]]<br />
<br />
<br />
=Métodos numéricos=<br />
*[[Cociente de Rayleigh]]<br />
*[[Método da potência]]<br />
*[[Matrizes com valores próprios dominantes]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Atratores_e_repulsores_no_espa%C3%A7o_de_fase_com_matrizes_diagonais&diff=4160Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais2018-03-28T14:22:17Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais<br />
*DIFICULDADE: <br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: sistema dinâmico discreto, matriz diagonal, atratores, repulsores, selas, trajetória no espaço de fase, direção de maior atração/repulsão<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere o sistema dinâmico \(\pmb{x_{\text{k+1}}}\)\( = A \)\(\pmb{x_{\text{k}}}\) com a matriz \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}1.2&#038;0\\0&#038;0.2\\\end{array}\right)\), então a única afirmação correta é:<br />
<br />
A) A direção de maior atração é o eixo dos yy <br />
<br />
B) A origem é um atrator <br />
<br />
C) Se \(\pmb{x_0}\) não está sobre o eixo dos yy então \(\pmb{x_k}\)->\(\pmb{0}\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(atractDiagonal)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Trajet%C3%B3rias_num_sistema_din%C3%A2mico_discreto&diff=4158Trajetórias num sistema dinâmico discreto2018-03-28T14:20:52Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Trajetórias num sistema dinâmico discreto<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 25 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: sistema dinâmico discreto, tratores, repulsores, selas, trajetória no espaço de fase, direção de maior atração/repulsão<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}1.4&#038;0.3\\0.2&#038;0.5\\\end{array}\right)\) como a matriz de um sistema dinâmico \(\pmb{x_{\text{k+1}}}\) \( = A \)\(\pmb{x_{\text{k}}}\). Identifique todas as afirmações verdadeiras:<br />
<br />
A) A origem é um ponto de sela <br />
<br />
B) A direção de maior atração é a reta que passa em \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\\end{array}\right)\) e \(\left(\begin{array}{c}-0.297612\\0.954687\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) A direção de maior atração é a reta que passa em \(\left(\begin{array}{c}0\\0\\\end{array}\right)\) e \(\left(\begin{array}{c}0.97908\\0.203477\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764584179/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Atratores_e_repulsores_no_espa%C3%A7o_de_fase&diff=4156Atratores e repulsores no espaço de fase2018-03-28T14:19:37Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Atratores e repulsores no espaço de fase<br />
*DIFICULDADE: ****<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: sistema dinâmico discreto, tratores, repulsores, selas, trajetória no espaço de fase, elipse, parábola, hipérbole <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere o sistema dinâmico \(\pmb{x_{\text{k+1}}}\) \( = A \)\(\pmb{x_{\text{k}}}\) com a matriz \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}&#038;-\frac{25}{4}\\\frac{25}{4}&#038;\frac{35}{4}\\\end{array}\right)\). Então a única opção verdadeira é:<br />
<br />
A) A origem é um atrator;<br />
<br />
B) A origem é um repulsor;<br />
<br />
C) As trajetórias no espaço de fase são elipses em torno da origem.<br />
<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764584177/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Vetor_estacion%C3%A1rio_de_uma_cadeia_de_Markov&diff=4154Vetor estacionário de uma cadeia de Markov2018-03-28T14:17:30Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Vetor estacionário de uma cadeia de Markov<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz de transição, vetores de probabilidades, cadeia de Markov, vetor estacionário<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Num dado país, as votações estão há vários anos bipolarizadas em dois partidos políticos, o PDC e o BEL. De 4 em 4 anos, 50% dos anteriores votos no PDC passam para o BEL. Por outro lado, nesse mesmo período, há 40% de votos no BEL que são deslocados para votos no PDC.Indique todas as afirmações verdadeiras.<br />
<br />
A) A matriz de transição do voto no país em causa é dada por \(\left(\begin{array}{cc}0.4&#038;0.5\\0.6&#038;0.5\\\end{array}\right)\).<br />
<br />
B) Suponha que nas últimas eleições a distribuição de votos foi de 65% para o PDC e de 35% para o BEL. A distribuição de votos esperada daqui a 3 eleições será de 0.44465% de voto no PDC e 0.55535% no BEL.<br />
<br />
C) O vetor estacionário para a distribuição de votos é dado por 0.444444% de votos no PDC e 0.555556% de votos no BEL.<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764598723/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matriz_de_transi%C3%A7%C3%A3o_de_uma_cadeia_de_Markov&diff=4152Matriz de transição de uma cadeia de Markov2018-03-28T14:09:10Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Matriz de transição de uma cadeia de Markov<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz de transição, vetores de probabilidades, cadeia de Markov<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Numa dada região, o clima alterna anualmente de acordo com o seguinte modelo. Cada ano, a probabilidade de vir um ano seco a seguir a um ano sem chuva é de 70%, e a de vir um ano de chuvas a seguir a um ano seco é de 30%. Por outro lado, anualmente, há 5% de probabilidade de a seguir a um ano de chuvas vir um ano de seca e 95% de vir um ano de chuvas após um ano de chuvas.<br />
Qual a matriz de alteração climática anual da região em causa?<br />
<br />
A) \(\left(\begin{array}{cc}0.7&#038;0.05\\0.3&#038;0.95\\\end{array}\right)\)<br />
B) \(\left(\begin{array}{cc}1.&#038;0.35\\0.5&#038;1.15\\\end{array}\right)\),<br />
C) \(\left(\begin{array}{c}0.95\\0.3\\\end{array}\right)\),<br />
D) \(\left(\begin{array}{cc}0.7&#038;0.3\\0.05&#038;0.95\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764598720/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Previs%C3%A3o_numa_cadeia_de_Markov&diff=4150Previsão numa cadeia de Markov2018-03-28T14:07:35Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Previsão numa cadeia de Markov<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz de transição, vetores de probabilidades, cadeia de Markov<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Num dado país, as votações estão há vários anos bipolarizadas em dois partidos políticos, o PDC e o BEL. De 4 em 4 anos, a percentagem de votantes no PDC que continua a votar em PDC é de 60%, enquanto 40% dos anteriores votos no PCD passam para o BEL. Por outro lado, nesse mesmo período, há 45% de votos no BEL que são deslocados para votos no PDC e os restantes 55% permanecem votos no BEL. Suponha que nas últimas eleições a distribuição de votos foi de 40% para o PDC e de 60% para o BEL. Qual a distribuição de votos esperada daqui a 2 eleições?<br />
<br />
A) A probabilidade de voto no PDC é 52,65% e no BEL é 47,35%.<br />
<br />
B) A probabilidade de voto no PDC é 51,9% e no BEL é 48,1%.<br />
<br />
C) A probabilidade de voto no PDC é 49,2% e no BEL é 49,65%.<br />
<br />
D) A probabilidade de voto no PDC é 52,35% e no BEL é 47,65%.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764598722/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Previs%C3%A3o_numa_cadeia_de_Markov&diff=4148Previsão numa cadeia de Markov2018-03-28T14:07:18Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Previsão numa cadeia de Markov<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz de transição, vetores de probabilidades, cadeia de Markov<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Num dado país, as votações estão há vários anos bipolarizadas em dois partidos políticos, o PDC e o BEL. De 4 em 4 anos, a percentagem de votantes no PDC que continua a votar em PDC é de 60%, enquanto 40% dos anteriores votos no PCD passam para o BEL. Por outro lado, nesse mesmo período, há 45% de votos no BEL que são deslocados para votos no PDC e os restantes 55% permanecem votos no BEL. Suponha que nas últimas eleições a distribuição de votos foi de 40% para o PDC e de 60% para o BEL. Qual a distribuição de votos esperada daqui a 2 eleições?<br />
<br />
A)A probabilidade de voto no PDC é 52,65% e no BEL é 47,35%.<br />
<br />
B)A probabilidade de voto no PDC é 51,9% e no BEL é 48,1%.<br />
<br />
C)A probabilidade de voto no PDC é 49,2% e no BEL é 49,65%.<br />
<br />
D)A probabilidade de voto no PDC é 52,35% e no BEL é 47,65%.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764598722/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Matriz_de_transi%C3%A7%C3%A3o_de_uma_cadeia_de_Markov&diff=4146Matriz de transição de uma cadeia de Markov2018-03-28T14:06:39Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Aplicações<br />
*DESCRICAO: Matriz de transição de uma cadeia de Markov<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz de transição, vetores de probabilidades, cadeia de Markov<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Numa dada região, o clima alterna anualmente de acordo com o seguinte modelo. Cada ano, a probabilidade de vir um ano seco a seguir a um ano sem chuva é de 70%, e a de vir um ano de chuvas a seguir a um ano seco é de 30%. Por outro lado, anualmente, há 5% de probabilidade de a seguir a um ano de chuvas vir um ano de seca e 95% de vir um ano de chuvas após um ano de chuvas.<br />
Qual a matriz de alteração climática anual da região em causa?<br />
<br />
A)\(\left(\begin{array}{cc}0.7&#038;0.05\\0.3&#038;0.95\\\end{array}\right)\)<br />
B)\(\left(\begin{array}{cc}1.&#038;0.35\\0.5&#038;1.15\\\end{array}\right)\),<br />
C)\(\left(\begin{array}{c}0.95\\0.3\\\end{array}\right)\),<br />
D)\(\left(\begin{array}{c}0.05\\0.7\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764598720/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Identificar_matrizes_diagonaliz%C3%A1veis&diff=4144Identificar matrizes diagonalizáveis2018-03-28T14:00:42Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Identificar matrizes diagonalizáveis <br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz diagonalizável, valores próprios reais, multiplicidade algébrica e geométrica dos valores próprios<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Identifique todas as matrizes que são diagonalizáveis.<br />
<br />
A) \(\left(\begin{array}{cc}2&#038;0\\-1&#038;2\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(\left(\begin{array}{cc}-1&#038;-3\\3&#038;-2\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) \(\left(\begin{array}{ccc}3&#038;-3&#038;-1\\-3&#038;-2&#038;1\\-1&#038;1&#038;2\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) \(\left(\begin{array}{ccc}1&#038;2&#038;-4\\-1&#038;3&#038;-1\\-1&#038;4&#038;-3\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/851498741290823/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=A%C3%A7%C3%A3o_de_uma_matriz_diagonaliz%C3%A1vel&diff=4142Ação de uma matriz diagonalizável2018-03-28T13:59:50Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Ação de uma matriz diagonalizável <br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: matriz diagonalizável, valores próprios, vetores próprios, espaços próprios<br />
</div ><br />
</div><br />
<br />
Seja \(A\) uma matriz diagonalizável. O espaço próprio do valor próprio \(2\) é \(\{(x,0,z): x,z \in \mathbb{R} \}\) e o espaço próprio do valor próprio \(-2\) é \(\{(0,y,0): y \in \mathbb{R} \}\). Selecione todas afirmações verdadeiras:<br />
<br />
<br />
A) \(A\)\(\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\1\\\end{array}\right)\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}0\\7\\3\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(A\)\(\left(\begin{array}{c}-2\\1\\-4\\\end{array}\right)\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}-2\\1\\8\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) \(A\)\(\left(\begin{array}{c}-1\\0\\4\\\end{array}\right)\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}-2\\0\\8\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) \(A\)\(\left(\begin{array}{c}-4\\3\\-2\\\end{array}\right)\)\(=\)\(\left(\begin{array}{c}-8\\-6\\-4\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717986713/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Propriedades_de_formas_quadr%C3%A1ticas_em_%5C(R%5E2%5C)&diff=4140Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)2018-03-28T13:56:16Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear, Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Formas quadráticas, Extremos condicionados<br />
*DESCRICAO: propriedades de formas quadráticas em R2<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: formas quadráticas, matrizes simétricas, formas quadráticas definidas positivas e negativas, formas quadráticas indefinidas, formas quadráticas semidefinidas positivas e negativas, elipses, hipérboles, curvas degeneradas <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja a forma quadrática \( Q( \)\(\pmb{x}\)\( )= \)\(\pmb{x}^T\)\( A \)\(\pmb{x}\), em que \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}7&#038;-5\\-5&#038;-5\\\end{array}\right)\). Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre \(Q\):<br />
<br />
<br />
A) \(Q\) é uma forma quadrática semidefinida positiva.<br />
<br />
B) Pode não existir uma base ortogonal associada à forma quadrática.<br />
<br />
C) \( Q( \)\(\pmb{x}\)\( ) = \)\(4\) corresponde a uma curva degenerada.<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991924/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Classifica%C3%A7%C3%A3o_de_formas_quadr%C3%A1ticas_em_%5C(R%5E2%5C)&diff=4138Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)2018-03-28T13:54:11Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear, Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Formas quadráticas, Extremos condicionados<br />
*DESCRICAO: classificação de formas quadráticas em R2<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: formas quadráticas, matrizes simétricas, formas quadráticas definidas positivas e negativas, formas quadráticas indefinidas, formas quadráticas semidefinidas positivas e negativas<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre as seguintes formas quadráticas:<br />
<br />
<br />
A) \(-x² - 4 x y - 6 y²\) é indefinida;<br />
<br />
B) \(3 x² + 2 x y + 4 y²\) é semidefinida positiva;<br />
<br />
C) \(-5 x² - 10 x y - 6 y²\) é definida positiva;<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores.<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991922/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=C%C3%A1lculo_diferencial_e_integral_II&diff=4136Cálculo diferencial e integral II2018-03-28T13:52:08Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div>=Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)=<br />
*[[Área de um triângulo]]<br />
*[[Conjuntos em \(R^2\)]]<br />
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]<br />
*[[Identificação da representação do domínio]]<br />
*[[Normas de matrizes e vetores]]<br />
*[[Propriedades do produto interno e externo]]<br />
<br />
=Funções de \(R^n\) em \(R^m\): limite e continuidade=<br />
*[[Transformação de um quadrado]]<br />
*[[Identificação da representação algébrica a partir do gráfico]]<br />
*[[Curvas de nível]]<br />
*[[Identificar função a partir de curvas]]<br />
*[[Cálculo de limite]]<br />
*[[Superfície paramétrica]]<br />
*[[Teoria sobre continuidade]]<br />
*[[Grafico campo vetorial]]<br />
<br />
=Funções de \(R^n\) em \(R^m\): diferenciabilidade=<br />
*[[Equação do plano tangente]]<br />
*[[Normal ao plano tangente]]<br />
*[[Identificação de curva paramétrica]]<br />
<br />
=Derivadas parciais=<br />
*[[Derivada parcial]]<br />
*[[Gráficos derivadas parciais]]<br />
*[[Derivada direcional]]<br />
*[[Identificação de funções harmónicas]]<br />
*[[Funções que satisfazem a equação de onda]]<br />
<br />
=Derivada da função composta=<br />
=Teorema de Taylor em \(R^n\) e estudo de extremos=<br />
<br />
=Teoremas da função inversa e da função implícita =<br />
*[[Invertibilidade numa vizinhança]]<br />
<br />
=Extremos condicionados=<br />
*[[Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Classificação de formas quadráticas]]<br />
<br />
= Integrais múltiplos: Teorema de Fubini=<br />
*[[Coordenadas cartesianas]]<br />
*[[Cálculo de integral triplo]]<br />
*[[Cálculo de integral duplo]]<br />
*[[Integral triplo sobre pirâmide]]<br />
*[[Mudança da ordem de integração]]<br />
*[[Coordenadas polares]]<br />
<br />
=Teorema de mudança de variáveis=<br />
*[[Mudança da ordem de integracao polares]]<br />
<br />
=Aplicações ao cálculo de grandezas físicas=<br />
*[[Valor médio de uma função num paralelipipedo]]<br />
*[[Cálculo de volume de revolução]]<br />
<br />
=Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais=<br />
*[[Cálculo de curva paramétrica]]<br />
*[[Integral de linha]]<br />
<br />
=Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha=<br />
*[[Campo gradiente]]<br />
<br />
=Campos gradientes e potenciais escalares=<br />
*[[Campo]]<br />
*[[Campo integrais]]<br />
*[[Gradiente, rotacional e divergente]]<br />
*[[Campos conservativos em \(R^3\)]]<br />
*[[Laplaciano]]<br />
<br />
=Teorema de Green=<br />
=Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais=<br />
*[[Área de um triângulo]]<br />
*[[Area de superfície de revolução]]<br />
<br />
= Teorema da Divergência e teorema de Stokes=<br />
*[[Superficies regioes]]<br />
<br />
= Complementos=<br />
*[[Formas diferenciais]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Decomposi%C3%A7%C3%A3o_espetral&diff=4134Decomposição espetral2018-03-26T17:35:30Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Decomposição espetral para uma matriz 2x2<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: diagonalização ortogonal, valores próprios, vetores próprios, espaços próprios, matriz de projeção <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere a decomposição espetral da matriz \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}14&#038;-6\\-6&#038;9\\\end{array}\right)\).<br />
<br />
\(A = \lambda_1 \)\(\pmb{u_1}\)\(\pmb{u_1^T}\) + \( \lambda_2 \)\(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\), com \( | \lambda_1 | > | \lambda_2 | \), em que os vetores \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) vêm das colunas da matriz \(P\) na diagonalização ortogonal de \(A\).<br />
Identifique todas as afirmações verdadeiras:<br />
<br />
<br />
A) \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) formam uma base ortonormal de \( \mathbb{R}^2 \)<br />
<br />
B) \(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\) é uma matriz de projeção num espaço próprio <br />
<br />
C) \(\left(\begin{array}{c}-9.3\\-8.6\\\end{array}\right)\) é vetor próprio de \(A\) com uma certa aproximação<br />
<br />
D)Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764587131/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Decomposi%C3%A7%C3%A3o_espetral&diff=4132Decomposição espetral2018-03-26T17:32:13Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Álgebra Linear<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Diagonalização de matrizes<br />
*DESCRICAO: Decomposição espetral para uma matriz 2x2<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere a decomposição espetral da matriz \(A=\)\(\left(\begin{array}{cc}14&#038;-6\\-6&#038;9\\\end{array}\right)\).<br />
<br />
\(A = \lambda_1 \)\(\pmb{u_1}\)\(\pmb{u_1^T}\) + \( \lambda_2 \)\(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\), com \( | \lambda_1 | > | \lambda_2 | \), em que os vetores \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) vêm das colunas da matriz \(P\) na diagonalização ortogonal de \(A\).<br />
Identifique todas as afirmações verdadeiras:<br />
<br />
<br />
A) \(\pmb{u_1}\) e \(\pmb{u_2}\) formam uma base ortonormal de \( \mathbb{R}^2 \)<br />
<br />
B) \(\pmb{u_2}\)\(\pmb{u_2^T}\) é uma matriz de projeção num espaço próprio <br />
<br />
C) \(\left(\begin{array}{c}-9.3\\-8.6\\\end{array}\right)\) é vetor próprio de \(A\) com uma certa aproximação<br />
<br />
D)Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/570023764587131/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=%C3%81lgebra_linear&diff=4130Álgebra linear2018-03-26T17:31:16Z<p>Ist12543: /* A definir */</p>
<hr />
<div>=Resolução de sistemas de equações lineares=<br />
*[[Identificação de expressões lineares ]]<br />
*[[Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas]]<br />
*[[Soma da solução de um SEL 3 equações e 3 incógnitas]]<br />
*[[Classificação dum SEL 3 equações e 3 incógnitas com 2 parâmetros]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]<br />
<br />
=Método de eliminação de Gauss=<br />
*[[Identificação da forma em cada escada de linhas]]<br />
*[[Forma em escada de linhas com 1 como pivot]]<br />
*[[Forma reduzida de uma matriz]]<br />
*[[Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]<br />
<br />
=Matrizes e vetores=<br />
*[[Compatibilidade das operações matriciais]]<br />
*[[Calculo algébrico de matrizes e vetores]]<br />
*[[Propriedades de matrizes elementares 3\( \times\)3]]<br />
*[[Vetor combinação linear em \(R^2\)]]<br />
<br />
=Inversão de matrizes=<br />
*[[Matriz inversa 3 \( \times \) 3]]<br />
*[[Inversa do produto de A com \(B^T\)]]<br />
*[[Inversa do produto de 3 matrizes elementares 3\(\times\)3]]<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e MEG]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL]]<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL(2)]]<br />
<br />
<br />
=Espaços lineares=<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais]]<br />
<br />
*[[Subespaço de \(R^3\)]]<br />
<br />
=Transformações lineares=<br />
<br />
<br />
*[[Multiplicação por uma matriz]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação num espaço de matrizes 2\(\times\)2]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios]]<br />
<br />
*[[Matriz canónica de uma transformação diferencial num espaço de polinómios]]<br />
<br />
*[[Identificação geométrica de uma transformação linear]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\)]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\) sem projeções]]<br />
<br />
*[[Composição de 3 transformações lineares em \(R^3\)]]<br />
<br />
*[[Inversa da composição de 2 transformações lineares]]<br />
<br />
*[[Matriz da transformação de um paralelogramo]]<br />
<br />
*[[Rotação de um quadrado fora da origem]]<br />
<br />
*[[Teorema das matrizes invertíveis e transformações lineares]]<br />
<br />
=Independência linear=<br />
*[[Vetor combinação linear em \(R^2\)]]<br />
*[[Número de vetores linearmente independentes]]<br />
*[[Conjuntos linearmente independentes em \(R^4\)]]<br />
<br />
=Bases e dimensão=<br />
*[[Dimensão de um subespaço de \(R^4\)]]<br />
*[[Dimensão de um subespaço]]<br />
*[[Teorema da dimensão]]<br />
<br />
*[[Representação numa base de polinómios]]<br />
<br />
*[[Representação numa base de \(R^2\)]]<br />
<br />
*[[Representação numa base dum plano de \(R^3\)]]<br />
<br />
=Núcleo e contradomínio de uma transformação linear=<br />
<br />
*[[Vetores na imagem de uma transformação de \(R^2\) para \(R^3\)]]<br />
*[[Projeção de um cubo]]<br />
<br />
=Aplicações a equações diferenciais lineares=<br />
*[[Trajetórias para valores próprios reais]]<br />
<br />
=Produtos internos e normas=<br />
<br />
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]<br />
*[[Propriedades do produto interno e externo]]<br />
<br />
=Bases ortogonais e ortogonalização de Gram-Schmidt=<br />
*[[Base ortonormal para um subespaço de \(R^3\)]]<br />
*[[Ortonormalização duma base(Gram-Schmidt)]]<br />
<br />
=Complementos ortogonais e projeções=<br />
<br />
*[[Base do complemento ortogonal de subespaço de \(R^3\)]]<br />
*[[Distância de vetor a um plano]]<br />
*[[Distância de vetor a uma reta]]<br />
<br />
=Equações de retas e planos= <br />
=Mínimos quadrados= <br />
=Determinantes e aplicações=<br />
*[[Cálculo do determinante de uma matriz 4\(\times\)4]]<br />
<br />
*[[Propriedades de matrizes com determinante igual a 1]]<br />
<br />
*[[Cálculo da área de um paralelogramo]]<br />
<br />
*[[Cálculo do volume de um paralelepípedo]]<br />
<br />
*[[Regra de Cramer]]<br />
<br />
*[[Polinómio característico e diagonalização]]<br />
<br />
=Valores e vetores próprios=<br />
*[[Valores próprios complexos na transformação de um quadrado]]<br />
<br />
*[[Valores próprios da transformação de um quadrado]]<br />
<br />
*[[Valores próprios de uma matriz 3X3]]<br />
*[[Reconstruir uma matriz 2X2]]<br />
*[[Matriz companheira]]<br />
*[[Identificar vetores próprios de uma matriz 3X3]]<br />
*[[Vetor próprio de matriz com parâmetro]]<br />
*[[Valores próprios de matrizes simétricas]]<br />
*[[Matriz de rotação com escala]]<br />
*[[A rotação escondida na matriz \(A\)]]<br />
<br />
=Subespaços invariantes=<br />
=Diagonalização de matrizes=<br />
<br />
*[[Polinómio característico e diagonalização]]<br />
*[[Identificar matrizes diagonalizáveis]]<br />
*[[Ação de uma matriz diagonalizável]]<br />
<br />
=Transformações hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias= <br />
=Formas quadráticas=<br />
*[[Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)]]<br />
*[[Classificação de formas quadráticas em \(R^3\)]]<br />
<br />
=Aplicações=<br />
*[[Matriz de transição de uma cadeia de Markov]]<br />
<br />
*[[Previsão numa cadeia de Markov]]<br />
<br />
*[[Vetor estacionário de uma cadeia de Markov]]<br />
<br />
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase]]<br />
<br />
*[[Trajetórias num sistema dinâmico discreto]]<br />
<br />
*[[Decomposição espetral]]<br />
<br />
=Métodos numéricos=<br />
*[[Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais]]<br />
*[[Cociente de Rayleigh]]<br />
*[[Caracteristica e espaço nulo de uma matriz]]<br />
*[[Método da potência]]<br />
*[[Matrizes com valores próprios dominantes]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Diagonal_de_um_paralelip%C3%ADpedo_(coseno_de_um_%C3%A2ngulo)&diff=4128Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)2018-03-26T17:29:30Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Algebra Linear, Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Produtos internos e normas, Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)<br />
*DESCRICAO: Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo) <br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: produto interno, norma, menor ângulo entre os vetores, coseno de um ângulo<br />
</div><br />
</div><br />
Considere o paralelipípedo de comprimento \(1\), largura \(4\) e altura \(4\).<br />
<br />
[[File:DiagonalParal.gif]]<br />
<br />
O coseno do ângulo formado pela diagonal do paralelipipedo e o eixo dos xx é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{4}{\sqrt{33}}\),<br />
B) \(3\sqrt{\frac{3}{11}}\),<br />
C) \(\sqrt{33}\),<br />
D) \(\frac{4}{33}\).<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991918/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Diagonal_de_um_paralelip%C3%ADpedo_(coseno_de_um_%C3%A2ngulo)&diff=4126Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)2018-03-26T17:28:47Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Algebra Linear, Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Produto interno, Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)<br />
*DESCRICAO: Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo) <br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: produto interno, norma, menor ângulo entre os vetores, coseno de um ângulo<br />
</div><br />
</div><br />
Considere o paralelipípedo de comprimento \(1\), largura \(4\) e altura \(4\).<br />
<br />
[[File:DiagonalParal.gif]]<br />
<br />
O coseno do ângulo formado pela diagonal do paralelipipedo e o eixo dos xx é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{4}{\sqrt{33}}\),<br />
B) \(3\sqrt{\frac{3}{11}}\),<br />
C) \(\sqrt{33}\),<br />
D) \(\frac{4}{33}\).<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991918/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Diagonal_de_um_paralelip%C3%ADpedo_(coseno_de_um_%C3%A2ngulo)&diff=4124Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)2018-03-26T17:26:24Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Álgebra Linear, Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)<br />
*DESCRICAO: Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo) <br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: produto interno, norma, menor ângulo entre os vetores, coseno de um ângulo<br />
</div><br />
</div><br />
Considere o paralelipípedo de comprimento \(1\), largura \(4\) e altura \(4\).<br />
<br />
[[File:DiagonalParal.gif]]<br />
<br />
O coseno do ângulo formado pela diagonal do paralelipipedo e o eixo dos xx é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{4}{\sqrt{33}}\),<br />
B) \(3\sqrt{\frac{3}{11}}\),<br />
C) \(\sqrt{33}\),<br />
D) \(\frac{4}{33}\).<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991918/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Integral_de_linha&diff=4122Integral de linha2018-03-26T16:54:28Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais<br />
*DESCRICAO: Integral de curva parametrizada <br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Sejam a função escalar \(f\)\(\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\)=\(-5x-4y\) e a curva parametrizada por \( \gamma = \)\(\left(\begin{array}{c}0\\-4t\\\end{array}\right)\). A representação geométrica da imagem de \( \gamma \) com \(t\text{$\in$[}-1,1]\) encontra-se na figura abaixo.<br />
<br />
[[File:IntegralLinha.gif]]<br />
<br />
O integral de \(f\) com respeito ao arco da curva parametrizada por \( \gamma \) em \([-1,1]\) é igual a:<br />
<br />
A) \(0\)<br />
<br />
B) \(8\)<br />
<br />
C) \(16\)<br />
<br />
D) \(-16\)<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(integralLinha)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Campos_conservativos_em_%5C(R%5E3%5C)&diff=4120Campos conservativos em \(R^3\)2018-03-26T16:51:23Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: Campos conservativos em \(R^3\)<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, campo gradiente, gradiente de uma função escalar<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Diga quais das seguintes funções podem definir um campo vetorial conservativo, i.e. um campo que é o gradiente duma dada função escalar.<br />
<br />
A) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}\sqrt{\pi}\\-2y^2+2y+5\\\sqrt{\pi}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}2e^{4x}\\-2e^{-2y}\\-5e^{2z}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}-\cos(x+2y-2z)\\-2\cos(x+2y-2z)\\2\cos(x+2y-2z)\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}-4e^{-2x-2y+z}\\-4e^{-2x-2y+z}\\2e^{-2x-2y+z}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(conservativos3D)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Laplaciano&diff=4118Laplaciano2018-03-26T16:47:57Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: Cálculo de Laplaciano vetorial<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, funções coordenadas, laplaciano vetorial<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \(F: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}\) uma função de classe \(C^2\) tal que a função coordenada \(\text{rot}\pmb{\text{F}}=\left(\begin{array}{c}0\\-\text{z}\\-\text{e}^{\text{x}}\\\end{array}\right)\),\(\text{F}_2=\text{y}^2\) e a função coordenada \(F_3\) não depende de y. Então o Laplaciano de \(F\):<br />
<br />
A) é dado por \(\left(\begin{array}{c}-\frac{2\text{x}^2-2}{\left(\text{x}^2+1\right)^2}\\0\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) é dado por \(\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) é dado por \(\left(\begin{array}{c}\text{y}\text{e}^{\text{x}}\\2\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) não pode ser determinado com os dados apresentados<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(Laplaciano)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=C%C3%A1lculo_de_integral_duplo&diff=4116Cálculo de integral duplo2018-03-26T16:44:09Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais múltiplos: Teorema de Fubini<br />
*DESCRICAO: Cálculo de integral duplo sobre retângulo<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: função integrável à Riemann, integral duplo, ordem de integração, extremos de integração<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
O integral de \(f\)\(\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\)=\(e^{5x-4y}\) sobre \(A=\)\([0,3]\times\left[-1,\sqrt{5}\right]\) é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{1}{20}\)\(e^{-4\sqrt{5}}\)\(e^{15}-1\)\(e^{4+4\sqrt{5}}-1\)<br />
<br />
B) \(\frac{1}{20}\)\(\frac{1}{e^{17}}\)\(e^{12}-1\)\(e^{5+5\sqrt{5}}-1\)<br />
<br />
C) \(3\)\(1+\sqrt{5}\)<br />
<br />
D)\(-\frac{1}{20}\)\(\frac{1}{e^{17}}\)\(e^{12}-1\)\(e^{5+5\sqrt{5}}-1\)<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(calculaIntegral)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Diagonal_de_um_paralelip%C3%ADpedo_(coseno_de_um_%C3%A2ngulo)&diff=4114Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)2018-03-26T16:28:47Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)<br />
*DESCRICAO: Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo) <br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: produto interno, norma, menor ângulo entre os vetores, coseno de um ângulo<br />
</div><br />
</div><br />
Considere o paralelipípedo de comprimento \(1\), largura \(4\) e altura \(4\).<br />
<br />
[[File:DiagonalParal.gif]]<br />
<br />
O coseno do ângulo formado pela diagonal do paralelipipedo e o eixo dos xx é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{4}{\sqrt{33}}\),<br />
B) \(3\sqrt{\frac{3}{11}}\),<br />
C) \(\sqrt{33}\),<br />
D) \(\frac{4}{33}\).<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui[https://drive.tecnico.ulisboa.pt/api/drive/file/1132973717991918/download]<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Formas_diferenciais&diff=4112Formas diferenciais2018-03-26T16:23:06Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Complementos<br />
*DESCRICAO: Cálculo de forma diferencial <br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: formas diferenciais<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
A forma-3 \(dx_2\land dx_4\land dx_2\left(\left(\begin{array}{c}-2\\1\\2\\-2\\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\4\\2\\\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\-3\\-4\\2\\\end{array}\right)\right)\) resulta no número:<br />
<br />
A) \(-6\)<br />
<br />
B) \(-4\)<br />
<br />
C) \(0\)<br />
<br />
D) \(2\)<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(formas31)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Superficies_regioes&diff=4110Superficies regioes2018-03-26T16:22:10Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes<br />
*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície<br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja S a superfície \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}\) e \(\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) uma função de classe \(\text{C}^1\) tal que \(\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}\) onde \(\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:<br />
<br />
A) \(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.<br />
<br />
B) \(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.<br />
<br />
C) \(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.<br />
<br />
D) \(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Superficies_regioes&diff=4108Superficies regioes2018-03-26T16:20:27Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes<br />
*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície<br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja S a superfície \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}\) e \(\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) uma função de classe \(\text{C}^1\) tal que \(\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}\) onde \(\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:<br />
<br />
A) \(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.<br />
<br />
B) \(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.<br />
<br />
C) \(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.<br />
<br />
D) \(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Superficies_regioes&diff=4106Superficies regioes2018-03-26T16:16:45Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes<br />
*DESCRICAO: <br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja S a superfície \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}\) e \(\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) uma função de classe \(\text{C}^1\) tal que \(\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}\) onde \(\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:<br />
<br />
A) \(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.<br />
<br />
B) \(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.<br />
<br />
C) \(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.<br />
<br />
D) \(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=C%C3%A1lculo_diferencial_e_integral_II&diff=4104Cálculo diferencial e integral II2018-03-26T16:12:12Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div>=Estrutura algébrica e topológica de \(R^n\)=<br />
*[[Área de um triângulo]]<br />
*[[Conjuntos em \(R^2\)]]<br />
*[[Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)]]<br />
*[[Identificação da representação do domínio]]<br />
*[[Normas de matrizes e vetores]]<br />
*[[Propriedades do produto interno e externo]]<br />
<br />
=Funções de \(R^n\) em \(R^m\): limite e continuidade=<br />
*[[Transformação de um quadrado]]<br />
*[[Identificação da representação algébrica a partir do gráfico]]<br />
*[[Curvas de nível]]<br />
*[[Identificar função a partir de curvas]]<br />
*[[Cálculo de limite]]<br />
*[[Superfície paramétrica]]<br />
*[[Teoria sobre continuidade]]<br />
*[[Grafico campo vetorial]]<br />
<br />
=Funções de \(R^n\) em \(R^m\): diferenciabilidade=<br />
*[[Equação do plano tangente]]<br />
*[[Normal ao plano tangente]]<br />
*[[Identificação de curva paramétrica]]<br />
<br />
=Derivadas parciais=<br />
*[[Derivada parcial]]<br />
*[[Gráficos derivadas parciais]]<br />
*[[Derivada direcional]]<br />
*[[Identificação de funções harmónicas]]<br />
*[[Funções que satisfazem a equação de onda]]<br />
<br />
=Derivada da função composta=<br />
=Teorema de Taylor em \(R^n\) e estudo de extremos=<br />
<br />
=Teoremas da função inversa e da função implícita =<br />
*[[Invertibilidade numa vizinhança]]<br />
<br />
=Extremos condicionados=<br />
*[[Classificação de formas quadráticas]]<br />
<br />
= Integrais múltiplos: Teorema de Fubini=<br />
*[[Coordenadas cartesianas]]<br />
*[[Cálculo de integral triplo]]<br />
*[[Cálculo de integral duplo]]<br />
*[[Integral triplo sobre pirâmide]]<br />
*[[Mudança da ordem de integração]]<br />
*[[Coordenadas polares]]<br />
<br />
=Teorema de mudança de variáveis=<br />
*[[Mudança da ordem de integracao polares]]<br />
<br />
=Aplicações ao cálculo de grandezas físicas=<br />
*[[Valor médio de uma função num paralelipipedo]]<br />
*[[Cálculo de volume de revolução]]<br />
<br />
=Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais=<br />
*[[Cálculo de curva paramétrica]]<br />
*[[Integral de linha]]<br />
<br />
=Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha=<br />
*[[Campo gradiente]]<br />
<br />
=Campos gradientes e potenciais escalares=<br />
*[[Campo]]<br />
*[[Campo integrais]]<br />
*[[Gradiente, rotacional e divergente]]<br />
*[[Campos conservativos em \(R^3\)]]<br />
*[[Laplaciano]]<br />
<br />
=Teorema de Green=<br />
=Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais=<br />
*[[Área de um triângulo]]<br />
*[[Area de superfície de revolução]]<br />
<br />
= Teorema da Divergência e teorema de Stokes=<br />
*[[Superficies regioes]]<br />
<br />
= Complementos=<br />
*[[Formas diferenciais]]</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Area_de_superf%C3%ADcie_de_revolu%C3%A7%C3%A3o&diff=4102Area de superfície de revolução2018-03-26T14:10:07Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais<br />
*DESCRICAO: área de uma superfície de revolução<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: parametrização de uma superfície de revolução, área de superfície<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Na figura abaixo está representada uma superfície de revolução, gerada pela função \(\text{y=}\frac{\text{sen}(z)}{2}\) com \(z \in [\)\(0\),\(\frac{\pi}{2}\)\( ]\), quando revolucionada em torno do eixo dos \(zz\).<br />
<br />
[[File:AreaSupRev.gif]]<br />
A área da superfície de revolução é dada por:<br />
<br />
A) \(\frac{\sqrt{5}\pi}{4}\)\(\pi\log\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)<br />
<br />
B) \(\frac{1}{8}\)\(\pi^2\)<br />
<br />
C) \(\frac{\sqrt{5}}{8}\)\(\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)<br />
<br />
D) \(3\sqrt{\frac{5}{2}}\)\(\frac{1}{2}\log\left(3+\sqrt{10}\right)\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(AreaSupRev)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Area_de_superf%C3%ADcie_de_revolu%C3%A7%C3%A3o&diff=4100Area de superfície de revolução2018-03-26T14:09:30Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais<br />
*DESCRICAO: área de uma superfície de revolução<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: parametrização de uma superfície, área de superfície<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Na figura abaixo está representada uma superfície de revolução, gerada pela função \(\text{y=}\frac{\text{sen}(z)}{2}\) com \(z \in [\)\(0\),\(\frac{\pi}{2}\)\( ]\), quando revolucionada em torno do eixo dos \(zz\).<br />
<br />
[[File:AreaSupRev.gif]]<br />
A área da superfície de revolução é dada por:<br />
<br />
A)\(\frac{\sqrt{5}\pi}{4}\)\(\pi\log\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)<br />
<br />
B)\(\frac{1}{8}\)\(\pi^2\)<br />
<br />
C)\(\frac{\sqrt{5}}{8}\)\(\frac{1}{2}\log\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\)<br />
<br />
D)\(3\sqrt{\frac{5}{2}}\)\(\frac{1}{2}\log\left(3+\sqrt{10}\right)\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(AreaSupRev)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=%C3%81rea_de_um_tri%C3%A2ngulo&diff=4098Área de um triângulo2018-03-26T14:08:24Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de superfície: integrais de campos escalares e fluxos de campos vetoriais<br />
*DESCRICAO: Área de um triângulo 3D<br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: parametrização do triângulo, integral de superfície<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Considere o triângulo de vértices \(\left(\begin{array}{c}3\\3\\0\\\end{array}\right)\),\(\left(\begin{array}{c}0\\-1\\3\\\end{array}\right)\) e \(\left(\begin{array}{c}-1\\-3\\1\\\end{array}\right)\). A sua área é igual a:<br />
<br />
A) \(\frac{\sqrt{281}}{2}\)<br />
<br />
B) \(\sqrt{281}\)<br />
<br />
C) \(0\)<br />
<br />
D) \(\frac{39}{2}\)<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(AreaTriangulo)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Laplaciano&diff=4096Laplaciano2018-03-26T14:03:57Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: <br />
*DIFICULDADE: ***<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, funções coordenadas, laplaciano vetorial<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \(F: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R^3}\) uma função de classe \(C^2\) tal que a função coordenada \(\text{rot}\pmb{\text{F}}=\left(\begin{array}{c}0\\-\text{z}\\-\text{e}^{\text{x}}\\\end{array}\right)\),\(\text{F}_2=\text{y}^2\) e a função coordenada \(F_3\) não depende de y. Então o Laplaciano de \(F\):<br />
<br />
A) é dado por \(\left(\begin{array}{c}-\frac{2\text{x}^2-2}{\left(\text{x}^2+1\right)^2}\\0\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) é dado por \(\left(\begin{array}{c}0\\2\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) é dado por \(\left(\begin{array}{c}\text{y}\text{e}^{\text{x}}\\2\\0\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) não pode ser determinado com os dados apresentados<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(Laplaciano)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Gradiente,_rotacional_e_divergente&diff=4094Gradiente, rotacional e divergente2018-03-26T13:59:02Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: Gradiente, rotacional e divergência<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: gradiente de uma função escalar, campo gradiente, rotacional, divergência<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \(\text{f}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}\) a função definida por \(\text{f}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=-2e^{x-y}\). Indique todas as afirmações verdadeiras relativas ao campo gradiente \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\nabla\text{f}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\) associado a esta função.<br />
<br />
A) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2e^{x-y}\\2e^{x-y}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(\text{div}\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=-4e^{x-y}\)<br />
<br />
C) \(\text{rot}\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=0\)<br />
<br />
D) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(camposGradiente)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Gradiente,_rotacional_e_divergente&diff=4092Gradiente, rotacional e divergente2018-03-26T13:58:25Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: Gradiente, rotacional e divergência<br />
*DIFICULDADE: *<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: campo gradiente, gradiente de uma função escalar, rotacional, divergência<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Seja \(\text{f}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}\) a função definida por \(\text{f}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=-2e^{x-y}\). Indique todas as afirmações verdadeiras relativas ao campo gradiente \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\nabla\text{f}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\) associado a esta função.<br />
<br />
A)\(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2e^{x-y}\\2e^{x-y}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B)\(\text{div}\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=-4e^{x-y}\)<br />
<br />
C)\(\text{rot}\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=0\)<br />
<br />
D)Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(camposGradiente)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Campos_conservativos_em_%5C(R%5E3%5C)&diff=4090Campos conservativos em \(R^3\)2018-03-26T13:55:18Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Campos gradientes e potenciais escalares<br />
*DESCRICAO: <br />
*DIFICULDADE: **<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 20 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, campo gradiente, gradiente de uma função escalar<br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Diga quais das seguintes funções podem definir um campo vetorial conservativo, i.e. um campo que é o gradiente duma dada função escalar.<br />
<br />
A) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}\sqrt{\pi}\\-2y^2+2y+5\\\sqrt{\pi}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
B) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}2e^{4x}\\-2e^{-2y}\\-5e^{2z}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
C) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}-\cos(x+2y-2z)\\-2\cos(x+2y-2z)\\2\cos(x+2y-2z)\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
D) \(\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{=}\left(\begin{array}{c}-4e^{-2x-2y+z}\\-4e^{-2x-2y+z}\\2e^{-2x-2y+z}\\\end{array}\right)\)<br />
<br />
E) Nenhuma das anteriores<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(conservativos3D)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543http://www.mysolutions.tecnico.ulisboa.pt//wiki/index.php?title=Integral_de_linha&diff=4088Integral de linha2018-03-26T13:53:02Z<p>Ist12543: </p>
<hr />
<div><div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"><br />
'''Metadata'''<br />
<div class="mw-collapsible-content"><br />
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário<br />
*AREA: Matemática<br />
*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2<br />
*ANO: 1<br />
*LINGUA: pt<br />
*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2<br />
*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais<br />
*DESCRICAO: <br />
*DIFICULDADE: easy<br />
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn<br />
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn<br />
*PALAVRAS CHAVE: <br />
</div><br />
</div><br />
<br />
Sejam a função escalar \(f\)\(\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\)=\(-5x-4y\) e a curva parametrizada por \( \gamma = \)\(\left(\begin{array}{c}0\\-4t\\\end{array}\right)\). A representação geométrica da imagem de \( \gamma \) com \(t\text{$\in$[}-1,1]\) encontra-se na figura abaixo.<br />
<br />
[[File:IntegralLinha.gif]]<br />
<br />
O integral de \(f\) com respeito ao arco da curva parametrizada por \( \gamma \) em \([-1,1]\) é igual a:<br />
<br />
A) \(0\)<br />
<br />
B) \(8\)<br />
<br />
C) \(16\)<br />
<br />
D) \(-16\)<br />
<br />
<br />
Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(integralLinha)<br />
<br />
Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt</div>Ist12543