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Revisão das 18h10min de 23 de janeiro de 2025
Derivadas parciais
Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função f≡f(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais:
- Derivada parcial segundo x:∂f∂x
- Derivada parcial segundo y:∂f∂y
Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo ∂ em vez de d.
Exemplos:
- f(x,y)=x3y2⟹∂f∂x=3x2y2,∂f∂y=2x3y
- f(x,y)=e−ysin(x)⟹∂f∂x=e−ycos(x),∂f∂y=−e−ysin(x)
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau
Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na Experiência de Millikan. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:
adfdt=b−cf
em que f≡f(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a,b e c são constantes.
Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar g(t) definida como:
g(t)=f(t)−bc
Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:
dgdt=dfdt
Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma:
adgdt=c(bc−f(t))=−cg(t)
⟹dgdt=−cag(t)
A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:
g(t)=Ae−cat
é a solução daquela equação, em que A é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para g(t), podemos calcular a função f(t) original:
f(t)=g(t)+bc=Ae−cat+bc
Para determinar o valor de A, temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função f(t) é f(0)=f0, podemos escrever:
f(0)≡f0=A+bc⟹A=f0−bc
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
ad2fdt2+bf=0
em que f≡f(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:
d2fdt2=−baf
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
f(t)=Asin(√bat)+Bcos(√bat)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos ω0=√ba e reescrevemos:
f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)
A solução geral pode também ser escrita como:
f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)
\noindent onde A0 é a amplitude, ϕ0 é a fase inicial e ω0 é a frequ\^encia angular, com per\'iodo T0=2πω0.
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
Pêndulo | Massa-mola | |
---|---|---|
Equação diferencial | ¨θ=−gℓθ | ¨x=−kmx |
Função f(t) | Ângulo θ(t) | Posição x(t) |
¨f | Acel. angular α(t)=¨θ | Aceleração a(t)=¨x |
a | ℓ | m |
b | g | k |
A0 | Amplitude máxima θ0 | Amplitude máxima A0 |
ϕ0 | (fase inicial) | (fase inicial) |
ω0 | √g/ℓ | √k/m |