Notas de apoio às aulas teóricas

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função $f \equiv f(x, y)$ que depende das variáveis $x$ e $y$ tem duas derivadas parciais:

• Derivada parcial segundo $x:\,\frac{\partial f}{\partial x}$
• Derivada parcial segundo $y:\,\frac{\partial f}{\partial y}$

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo $\partial$ em vez de $d$.

Exemplos:

• $f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y$
• $f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)$

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na Experiência de Millikan. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:

$$a \frac{df}{dt} = b - cf$$

em que $f \equiv f(t)$ é uma função que só depende de uma variável $t$ (por exemplo, o tempo) e $a, b$ e $c$ são constantes.

Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar $g(t)$ definida como:

$$g(t) = f(t) - \frac{b}{c}$$

Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:

$$\frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt}$$

Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma:

$$a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t)$$

$$\implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t)$$

A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:

$$g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}$$

é a solução daquela equação, em que $A$ é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para $g(t)$, podemos calcular a função $f(t)$ original:

$$f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c}$$

Para determinar o valor de $A$, temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função $f(t)$ é $f(0) = f_0$, podemos escrever:

$$f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c}$$

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o pêndulo (no limite de pequenas oscilações) ou o sistema massa-mola. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

$$a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0$$

em que $f \equiv f(t)$ é uma função que só depende de uma variável $t$ (por exemplo, o tempo) e $a$ e $b$ são constantes positivas. Reescrevendo:

$$\frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f$$

Podemos exprimir a questão desta forma: qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente $f(t)$ pode ter a forma geral

$$f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)$$

onde $A$ e $B$ são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.

Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos $\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}$. Temos assim:

$$f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)$$

$$\frac{df}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t) - B \omega_0 \sin(\omega_0 t)$$

$$\frac{d^2f}{dt^2} = -A \omega_0^2 \sin(\omega_0 t) - B \omega_0^2 \cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 f(t) = -\frac{b}{a}f$$

Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica

$$\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$$

Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas:

$$f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)$$

Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:

• Varia no tempo de forma sinusoidal
• Tem uma frequência angular $\omega$ e consequentemente um período $T=2\pi/\omega$
• A constante $A_0$ é a amplitude máxima do movimento
• A constante $\phi_0$ é a fase inicial do movimento

A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.

	Pêndulo	Massa-mola
Equação diferencial	$\ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\theta$	$\ddot{x} = -\frac{k}{m}x$
Função $f(t)$	Ângulo $\theta(t)$	Posição $x(t)$
$\ddot{f}$	Acel. angular $\alpha(t) = \ddot{\theta}$	Aceleração $a(t) = \ddot{x}$
$a$	$\ell$	$m$
$b$	$g$	$k$
$A_0$	Amplitude máxima $\theta_0$	Amplitude máxima $A_0$
$\phi_0$	(fase inicial)	(fase inicial)
$\omega_0$	$\sqrt{g/\ell}$	$\sqrt{k/m}$