Diferenças entre edições de "Notas de apoio às aulas teóricas"

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* \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
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* \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
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f(x, y)=x^3y^2 &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
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f(x, y)=e^{-y}\sin(x) &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
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=Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=
 
=Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=
 
Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na [[Experiência de Millikan]]. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:
 
Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na [[Experiência de Millikan]]. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:
  
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a \frac{df}{dt} = b - cf
 
a \frac{df}{dt} = b - cf
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em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a,b e c são constantes.
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em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a,b e c são constantes. Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar g(t) definida como:
  
Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar g(t) definida como:
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g(t) = f(t) - \frac{b}{c}
 
g(t) = f(t) - \frac{b}{c}
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Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:
 
Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:
  
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\frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt}
 
\frac{dg}{dt} = \frac{df}{dt}
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Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma:
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Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma
  
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a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t)
 
a \frac{dg}{dt} = c \left( \frac{b}{c} - f(t) \right) = -cg(t)
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\implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t)
 
\implies \frac{dg}{dt} = -\frac{c}{a} g(t)
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A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:
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A última igualdade apresenta-nos então a questão: ''qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante''? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:
  
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g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}
 
g(t) = A e^{-\frac{c}{a}t}
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é a solução daquela equação, em que A é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para g(t), podemos calcular a função f(t) original:
 
é a solução daquela equação, em que A é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para g(t), podemos calcular a função f(t) original:
  
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f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c}
 
f(t) = g(t) + \frac{b}{c} = A e^{-\frac{c}{a}t} + \frac{b}{c}
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Para determinar o valor de A, temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função f(t) é f(0)=f0, podemos escrever:
 
Para determinar o valor de A, temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função f(t) é f(0)=f0, podemos escrever:
  
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f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c}
 
f(0) \equiv f_0 = A + \frac{b}{c} \implies A = f_0 - \frac{b}{c}
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Inserindo esta expressão no valor de A e simplificando, temos finalmente a solução geral da equação original:
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f(t)=f_0e^{-\frac{c}{a}t}+\frac{b}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{a}t}\right)
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Quando t a função atinge um valor limite flim=b/c, independentemente do valor da
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velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” τ=a/c para a função exponencial.
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A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan. A figura mostra a evolução de uma função v(t), solução de uma equação deste tipo, e resume a interligação entre todos os parâmetros apresentados. Note que os eixos são normalizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problema (neste caso, o tempo médio τ e a velocidade limite vlim.
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[[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]
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! !! Exp. Millikan
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| Eq. diferencial || mdvdt=mgknv
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| Função f(t) || Velocidade v(t)
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| df/dt || Aceleração a(t)=dv/dt
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| a || m
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| A || f0=Vel. inicial=0m/s
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=Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau=
 
=Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau=
 
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo pêndulo] (no limite de pequenas oscilações) ou o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_massa-mola sistema massa-mola]. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
 
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o [https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo pêndulo] (no limite de pequenas oscilações) ou o [https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_massa-mola sistema massa-mola]. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
  
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     a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0
 
     a \frac{d^2f}{dt^2} + bf = 0
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em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:
 
em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:
  
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     \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f
 
     \frac{d^2f}{dt^2} = -\frac{b}{a}f
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Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
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Podemos exprimir a questão desta forma: ''qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa''? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente f(t) pode ter a forma geral
  
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     f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)
 
     f(t) = A \sin\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right) + B \cos\left(\sqrt{\frac{b}{a}}t\right)
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onde A e B são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.
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Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos ω0=ba. Temos assim:
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f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)
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\frac{df}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t) - B \omega_0 \sin(\omega_0 t)
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onde \(A\) e \(B\) são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos \(\omega_0 = \sqrt{\frac{b}{a}}\) e reescrevemos:
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\frac{d^2f}{dt^2} = -A \omega_0^2 \sin(\omega_0 t) - B \omega_0^2 \cos(\omega_0 t) = -\omega_0^2 f(t) = -\frac{b}{a}f
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Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica
    f(t) = A \sin(\omega_0 t) + B \cos(\omega_0 t)
 
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A solução geral pode também ser escrita como:
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\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v
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Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas<ref>Pode verificar que é possível escrever a expressão deste modo, por exemplo calculando os valores de A0 e ϕ0 a partir dos valores de A e B. Sugestão: considere as expressões para f(0) e f(0) num caso e noutro, e iguale-as respectivamente.</ref>:
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     f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)
 
     f(t) = A_0 \sin(\omega_0 t + \phi_0)
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\noindent onde \(A_0\) é a amplitude, \(\phi_0\) é a fase inicial e \(\omega_0\) é a frequ\^encia angular, com per\'iodo \(T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}\).
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Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:
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* Varia no tempo de forma sinusoidal
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* Tem uma frequência angular \(\omega\) e consequentemente um período \(T=2\pi/\omega\)
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* A constante \(A_0\) é a amplitude máxima do movimento
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* A constante \(\phi_0\) é a fase inicial do movimento
  
==Exemplos==
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A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
 
  
 
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Edição atual desde as 18h42min de 23 de janeiro de 2025

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função ff(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais:

  • Derivada parcial segundo x:fx
  • Derivada parcial segundo y:fy

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo em vez de d.

Exemplos:

f(x,y)=x3y2fx=3x2y2,fy=2x3yf(x,y)=eysin(x)fx=eycos(x),fy=eysin(x)

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece, por exemplo, em situações em que uma força (tipicamente o atrito) é proporcional à velocidade, tais como a queda de uma gotícula de óleo na Experiência de Millikan. A equação envolve a primeira derivada, um termo linear e um termo constante, e podemos escrever a seguinte expressão genérica:

adfdt=bcf

em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a,b e c são constantes. Para resolver esta equação, vamos recorrer a uma função auxiliar g(t) definida como:

g(t)=f(t)bc

Se derivarmos esta igualdade verificamos que as derivadas de ambas as funções são iguais:

dgdt=dfdt

Inserindo estas duas igualdades na primeira equação, podemos escrevê-la na forma

adgdt=c(bcf(t))=cg(t)dgdt=cag(t)

A última igualdade apresenta-nos então a questão: qual a função cuja derivada é igual à própria função, multiplicada por uma constante? Não é difícil concluir que é a função exponencial, mais concretamente:

g(t)=Aecat

é a solução daquela equação, em que A é uma constante que é necessário introduzir, e que depende das condições iniciais do sistema. Agora que determinámos a solução para g(t), podemos calcular a função f(t) original:

f(t)=g(t)+bc=Aecat+bc

Para determinar o valor de A, temos que ter alguma informação sobre o sistema. Por exemplo, sabendo que o valor inicial da função f(t) é f(0)=f0, podemos escrever:

f(0)f0=A+bcA=f0bc

Inserindo esta expressão no valor de A e simplificando, temos finalmente a solução geral da equação original:

f(t)=f0ecat+bc(1ecat)

Quando t a função atinge um valor limite flim=b/c, independentemente do valor da velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” τ=a/c para a função exponencial.

A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan. A figura mostra a evolução de uma função v(t), solução de uma equação deste tipo, e resume a interligação entre todos os parâmetros apresentados. Note que os eixos são normalizados, isto é, os seus valores são divididos por constantes características do problema (neste caso, o tempo médio τ e a velocidade limite vlim.

Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.
Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.
Exp. Millikan
Eq. diferencial mdvdt=mgknv
Função f(t) Velocidade v(t)
df/dt Aceleração a(t)=dv/dt
a m
b mg
c kn
A f0=Vel. inicial=0m/s
Expressão mgkn[1exp(knmt)]
flim vlim=mgkn
τ mkn

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito), que descreve o comportamento de sistemas físicos como o pêndulo (no limite de pequenas oscilações) ou o sistema massa-mola. Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

ad2fdt2+bf=0

em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:

d2fdt2=baf

Podemos exprimir a questão desta forma: qual a função (ou funções) cuja segunda derivada é igual à primeira, multiplicada por uma constante negativa? É fácil verificar que há duas soluções possíveis: as funções seno e cosseno, ou seja, genericamente f(t) pode ter a forma geral

f(t)=Asin(bat)+Bcos(bat)

onde A e B são duas constantes que é necessário introduzir; por enquanto são desconhecidas, mas podemos determiná-las se soubermos as condições iniciais do sistema – a posição inicial, a velocidade inicial, etc.

Vamos verificar que esta expressão é, de facto, a solução da equação diferencial acima. Para simplificar a escrita, definimos ω0=ba. Temos assim:

f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)
dfdt=Aω0cos(ω0t)Bω0sin(ω0t)
d2fdt2=Aω20sin(ω0t)Bω20cos(ω0t)=ω20f(t)=baf

Vemos assim que a expressão encontrada é a solução da equação diferencial. É no entanto possível escrever esta expressão numa forma mais prática usando a seguinte igualdade trigonométrica

sin(u+v)=sinucosv+cosusinv

Fazendo isto, a solução geral da equação pode ser escrita numa forma muito simples, e em vez de 𝐴 e 𝐵 ficamos com outras duas constantes mais intuitivas[1]:

f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)

Esta expressão permite verificar que a solução geral do oscilador harmónico livre tem as seguintes características:

  • Varia no tempo de forma sinusoidal
  • Tem uma frequência angular ω e consequentemente um período T=2π/ω
  • A constante A0 é a amplitude máxima do movimento
  • A constante ϕ0 é a fase inicial do movimento

A tabela seguinte lista o valor de alguns dos principais parâmetros para o caso do pêndulo e do sistema massa-mola.

Pêndulo Massa-mola
Equação diferencial ¨θ=gθ ¨x=kmx
Função f(t) Ângulo θ(t) Posição x(t)
¨f Acel. angular α(t)=¨θ Aceleração a(t)=¨x
a m
b g k
A0 Amplitude máxima θ0 Amplitude máxima A0
ϕ0 (fase inicial) (fase inicial)
ω0 g/ k/m

Notas

  1. Pode verificar que é possível escrever a expressão deste modo, por exemplo calculando os valores de A0 e ϕ0 a partir dos valores de A e B. Sugestão: considere as expressões para f(0) e f(0) num caso e noutro, e iguale-as respectivamente.