Fórmulas integrais de Cauchy

Metadata

• CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
• AREA: Matemática
• DISCIPLINA: Análise Complexa e Equações Diferenciais
• ANO: 2
• LINGUA: pt
• AUTOR: Rui Miguel Saramago
• MATERIA PRINCIPAL: Funções holomorfas
• DESCRICAO: Determinar derivadas de funções holomorfas a partir de condições dadas
• DIFICULDADE: **
• TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 10 mn
• TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 mn
• PALAVRAS CHAVE: função holomorfa

Seja $f(z)$ uma função inteira tal que $\displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-z)^2} \, du = \cos(z) \ $ para qualquer $z$ tal que $|z| \leq 1$ (onde $c$ é a circunferência de parametrização $2e^{i \theta}$, com $\theta \in [0, 2\pi]$, percorrida uma vez no sentido directo).

Se $\displaystyle f\big(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = - \dfrac{i \, sen \big(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$, temos

A) $\ f(i) = - \dfrac{i \, \cos(i)}{2\pi}$

B) $\ \displaystyle f' '\big(-\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\big) = \dfrac{i \, sen \big(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\big)}{2\pi}$

C) $\ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{(u-(-i))^3} \, du = i \, sen(-i) \ $, para $c$ tal como anteriormente

D) $\ \displaystyle \oint_c \frac{f(u)}{u-i} \, du = - \dfrac{1}{2} \, i \, \cos(i) \ $, para $c$ tal como anteriormente

E) Nenhuma das anteriores