Diferenças entre edições de "Experiência de Thomson"
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Os raios catódicos foram descobertos em 1879 por William Crookes (1832--1919), mas foi Sir J. J. Thomson\footnote{Prémio Nobel da Física de 1906, em reconhecimento dos seus trabalhos teóricos e experimentais na condução da electricidade em gases.} (1856--1940) que, em 1897, relatou as experiências por si realizadas e que permitiram determinar o valor daquela relação. Além disso, estas experiências provaram que os raios catódicos são constituídos por partículas de carga negativa, desde então designadas por electrões. Neste trabalho iremos reproduzir aproximadamente a experiência de Thomson. | Os raios catódicos foram descobertos em 1879 por William Crookes (1832--1919), mas foi Sir J. J. Thomson\footnote{Prémio Nobel da Física de 1906, em reconhecimento dos seus trabalhos teóricos e experimentais na condução da electricidade em gases.} (1856--1940) que, em 1897, relatou as experiências por si realizadas e que permitiram determinar o valor daquela relação. Além disso, estas experiências provaram que os raios catódicos são constituídos por partículas de carga negativa, desde então designadas por electrões. Neste trabalho iremos reproduzir aproximadamente a experiência de Thomson. | ||
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Revisão das 17h35min de 26 de março de 2024
Determinação experimental da relação \{q/m\} do electrão
Objectivo do trabalho
Pretende-se com este trabalho determinar a relação entre a carga e a massa ($q/m$) do electrão. Para esse fim, vamos estudar a deflexão de um feixe de raios catódicos sob o efeito de um campo eléctrico e de um campo magnético.
Os raios catódicos foram descobertos em 1879 por William Crookes (1832--1919), mas foi Sir J. J. Thomson\footnote{Prémio Nobel da Física de 1906, em reconhecimento dos seus trabalhos teóricos e experimentais na condução da electricidade em gases.} (1856--1940) que, em 1897, relatou as experiências por si realizadas e que permitiram determinar o valor daquela relação. Além disso, estas experiências provaram que os raios catódicos são constituídos por partículas de carga negativa, desde então designadas por electrões. Neste trabalho iremos reproduzir aproximadamente a experiência de Thomson.
When , there are two solutions to and they are $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
{\mathbf E(r,z)} = E_0 \, \hat{\mathbf x} \, \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w(z)^2}\right ) \exp \left(\! -i \left(kz +k \frac{r^2}{2R(z)} - \psi(z) \right) \!\right) Predefinição:/math
\section{\sf Introdução} \subsection*{\sf Conceitos necessários:}
\subsection{\sf Campo electrostático}
Define-se como sendo o campo eléctrico criado por uma distribuição de cargas que \emph{não evolui no tempo}. Considere-se por exemplo o par de cargas $q_1$ e $q_2$ imersas no vácuo, à distância $r_{12}$, e situadas respetivamente em $P_1$ e $P_2$, conforme ilustrado na Fig. . A força eléctrica que sofre $q_1$ no ponto $P_1$ devido a $q_2$ em $P_2$ à distância $r_{12}$ é
$\vec{u}_{r,P_1}$ é o \emph{versor} da distância $r_{1 2} $ no ponto $P_1$ (vector unitário dirigido de $P_2$ para $P_1$, ver figura).
%\begin{minipage}[b]{0.5\linewidth} Dada uma carga $q_1$ e um ponto $P$ a uma distância $r$, define-se o \emph{campo eléctrico} $\vec{E}$ em $P$ como a força eléctrica por unidade de carga exercida sobre uma carga de prova ou teste, suposta unitária e positiva, colocada em $P$: \begin{equation} \vec{E}_P (q_1, r) = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{u}_{r, P} \end{equation} As unidades do campo eléctrico são o newton/coulomb (N/C) ou, mais habitualmente, o volt/metro (V/m). \begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{./fig1-thomson} \caption{ Definição dos termos para a geometria de duas cargas. \label{fig:fig1}}
\end{figure}
As linhas de força eléctrica geradas por $q_1$ são radiais e dirigidas para o exterior, se $q_1>0$, ou para a origem, se $q_1<0$. Se se colocasse em $P$ a carga $q$, a força eléctrica a que esta carga ficaria submetida devido a $q_1$ seria $\vec{F}_{P,q} (q_1, r ) = q \vec{E}$, ou mais simplesmente:
\subsection{\sf Potencial eléctrico}
O campo eléctrico e a força eléctrica, que são entidades vectoriais, podem também ser calculadas a partir de uma função capaz de descrever o campo mas de natureza escalar, o \emph{potencial eléctrico} $V$. Para a situação referida acima, o potencial eléctrico criado no ponto $P$ à distância $r$ da carga $q_1$ é calculado por:
No caso de uma distribuição de $n$ cargas eléctricas $q_i$ à distância $r_i$ do ponto $P$ onde se pretende calcular o campo eléctrico e o potencial, tem-se:
\begin{align}
\vec{E}_P &= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i^2}\; \vec{u}_{r_i , P} \Big) \nonumber \\
V_P &= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^n \Big( \frac{q_i}{ r_i} \Big) \nonumber
\end{align}
%\setlength{\unitlength}{0.8cm} %
Recorde-se que se se considera uma única carga $q_1$ positiva, as linhas de força eléctricas são radiais e dirigidas para o exterior. Essas linhas de força são perpendiculares às \emph{superfícies equipotenciais}, que são esféricas ($r = \mathrm{c.^{te}}$ na equação ) e concêntricas com as cargas. Atendendo a () para dois raios $r_1$ e $r_2$ tal que $r_2 > r_1$ temos $V(r_2) < V(r_1)$, e portanto as linhas de força dirigem-se para os potenciais decrescentes.
Considere-se agora o caso de duas cargas $q_1 > 0$ e $q_2 < 0$. Enquanto estiverem muito afastadas uma da outra, produzem campos radiais, respetivamente divergindo e convergindo. Se forem colocadas suficientemente próximas, as linhas de força vão sofrer a influência de ambas as cargas. Nesse caso, apenas uma única linha de força é linear, dirigida de $q_1$ para $q_2$. Todas as outras, que na vizinhança próxima de cada carga são radiais, acabam por infletir, dirigindo-se de $q_1$ para $q_2$. A figura das linhas de força tem simetria de revolução em torno do eixo que contém $q_1$ e $q_2$ e é esquematicamente a indicada na Fig. . Se o valor absoluto das duas cargas for o mesmo a figura é simétrica em relação ao plano mediatriz das cargas $q_1$ e $q_2$ \footnote{Para mais exemplos ver https://phet.colorado.edu/en/simulations/charges-and-fields}.
\begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./fig2-thomson} \caption{ Linhas de força (a vermelho) e superfícies equipotenciais (a verde) de duas cargas simétricas. \label{fig:sup-equip}} \end{figure}
Se se calcular a diferença de potencial entre dois pontos infinitamente próximos $P$ e $P+dP$ devida a uma carga $q_1$ à distância $r$ e $r+dr$ respetivamente, a variação elementar do potencial $V$ será: %\begin{minipage}[b]{0.45\linewidth} \begin{align} d V &= V_{P+dP} - V_P = \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 r} \big( \frac{1}{r + dr} -\frac{1}{r} \big)\nonumber\\ &\approx \frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0 } \big( - \frac{dr}{r^2} \big) = - \vec{E} \cdot d \vec{r} \end{align}
Esta quantidade representa o trabalho elementar (energia) associado ao deslocamento da carga teste ($q_t=1\,$ C), de $P$ para $P+dP$. Para $q_1 > 0$, $\vec{E}$ e $\vec{dr}$ são paralelos e $dV < 0$. Isto significa que não será necessário fornecer energia para realizar esse transporte. De facto, afastar a carga teste da carga $q_1$ (i.e. ir de $P$ para $P+dP$) leva a uma configuração de cargas ($q_1$ e $q_t$) energeticamente mais favorável \footnote{Recorde-se que para um campo conservativo o trabalho realizado (que não depende do percurso mas só dos pontos inicial e final) tem um valor simétrico da variação de energia potencial.}.
No caso de uma diferença finita de potencial, isto é de uma diferença de potencial entre dois pontos $P$ e $Q$, ter-se-á que somar um número infinito de contribuições infinitesimais $dV_i=- \vec{E}_i \cdot d\vec{r}_i$ no intervalo de $P$ a $Q$:
No caso particular de $E$ ser homogéneo (por exemplo no interior de um condensador plano) na região onde se situam os pontos $P$ e $Q$, afastados de uma distância $D$, obtém-se
Para se compreender o significado físico de $V_P$, imagine-se que $Q$ é um ponto infinitamente afastado da região em que se faz sentir o campo eléctrico $\vec{E}$. Nesse ponto, $r \to \infty $ e $V_Q=0$, obtendo-se $V_P = \int_P^\infty \vec{E} \cdot d\vec{r}$, que permite a seguinte interpretação: \newline \newline \fbox {
%Se for a carga $q_2$, a energia necessária será $W= q_2\cdot V$. \subsubsectionPredefinição:\sf Energia electrostática A energia associada a uma configuração de cargas $q_1$ e $q_2$, à distância $r$, é dada por:
\begin{equation}\label{eq:enrPot}
W = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r} = q_1 V_1 = q_2 V_2 = \frac{q_1 V_1 +q_2 V_2}{2}
\end{equation} em que $V_1$ é o potencial no ponto $P_1$ criado pela carga $q_2$, e $V_2$ é o potencial no ponto $P_2$ criado pela carga $q_1$.
Recordando a definição do potencial criado por $n$ cargas eléctricas, podemos generalizar a equação () na seguinte forma:
\begin{equation}%\label{eq:enrPot}
W_E = \frac{1}{2} \sum_{i,j (i\ne j)}^n \frac{ 1 }{4 \pi \varepsilon_0} \frac{ q_i \, q_j }{r_{i\,j}} =
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i \left( \sum_{j \ne i}^n \frac{ q_j }{4 \pi \varepsilon_0 \,r_{i\,j}} \right) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n q_i V_i \end{equation} que corresponde à energia necessária para criar a distribuição de cargas $q_i$. A energia $W_E$ é uma energia potencial porque está associada às posições que as diferentes cargas ocupam, podendo ser recuperada se as cargas se afastarem umas das outras até distâncias $r \to \infty$.
\subsection{\sf Condutores eléctricos e dieléctricos. Condensador plano} Um material é um \emph{condutor eléctrico ideal} se as cargas eléctricas do mesmo sinal em excesso (que o carregam) são livres de se movimentarem no seu interior e à sua superfície. Quando pelo contrário isso não acontece, estamos perante um \emph{dieléctrico}.
Assim, se carregarmos um condutor com uma carga total $Q$ (se $Q > 0$, significa que se retiram electrões ao condutor inicialmente neutro) essas cargas, todas do mesmo sinal, vão acomodar-se logo que se atinja o equilíbrio electrostático, em posições que são o mais afastadas possíveis umas das outras -- ou seja, na superfície exterior do condutor, formando uma ``folha de carga. Pode mostrar-se que $\vec{E}$ no interior do condutor é nulo (enquanto que num dieléctrico $\vec{E} \ne \vec{0}$), e que a superfície do condutor é uma \emph{equipotencial}: logo, as linhas de força eléctricas são-lhe perpendiculares. Quando um material é carregado, a velocidade com que essas cargas se transferem de todo o volume do condutor para a superfície depende da sua condutividade. Se se considerar um condutor carregado, com geometria plana (uma placa), a carga vai distribuir-se sobre a superfície (ver ilustração em baixo). \setlength{\unitlength}{0.8cm}
\subsection{\sf Efeitos da corrente eléctrica estacionária criada por uma espira}
A passagem da \emph{corrente eléctrica estacionária} (i.e. cuja intensidade não varia no tempo) por um condutor cria um campo magnético $\vec{B}$, além de produzir calor por efeito de Joule. As \emph{linhas de força magnética} produzidas por um fio condutor linear são circulares e concêntricas com o condutor (ver figura). O módulo de $B$ num ponto a uma distância $r$ do fio (medida na perpendicular ao fio) é
em que $\mu_0 = 4 \pi× 10^{−7}$ H/m é a \emph{permeabilidade magnética} do vazio. \begin{figure}[bh] \centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig-fio} \end{figure}
No caso de uma espira\footnote{Termo que designa um circuito eléctrico fechado} circular, é criado um campo magnético cujas linhas de força são curvas fora do seu eixo e lineares apenas ao longo do eixo. Pode provar-se que o campo magnético criado por uma espira de raio $r$, percorrida por uma corrente de intensidade $I$, tem linhas de força fechadas\footnote{Mesmo aquelas que só \emph{fecham} no infinito}, ao contrário das linhas de força eléctricas. Isto coloca em evidência que $\vec{B}$ nos pontos do plano da espira, mas exteriores a esta, é antiparalelo a $\vec{B}$ no eixo da espira (ver figura). O módulo de $\vec{B}$ num ponto do eixo é dado por
\begin{figure}[h] \centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{fig-espira.pdf} \end{figure}
\subsection{\sf Força de Lorentz } Uma carga q animada de uma velocidade $\vec{v}$ numa região em que existe um campo de indução $\vec{B}$ e um campo eléctrico $\vec{E}$ fica submetida a uma força de Lorentz\footnote{Se a força for apenas de origem magnética, $\vec{F}_m = q\,(\vec{v} \times \vec{B})$, pode chamar-se também de \emph{Laplace}} $\vec{F}$ dada por: \begin{equation} \label{eq:Lorentz}
\vec{F} = q\; \vec{E} + q\,(\vec{v} \times \vec{B})
\end{equation}
A força de Lorentz resulta da soma vectorial de uma componente eléctrica e uma componente magnética, que verificam as seguintes propriedades:
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{./Lorentz1.png} \caption{Trajectória circular para uma carga positiva $q$ com velocidade $\vec{v}$ na presença de um campo magnético $\vec{B}_{in}$ perpendicular. \label{fig:lorentz1}} \end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./Lorentz2.png} \caption{ Carga positiva $q$ com velocidade $\vec{v}$, na presença de um campo magnético $\vec{B}_{in}$ e um campo eléctrico $\vec{E}$. Os três vectores são mutuamente perpendiculares e estão orientados de modo que as forças têm sentidos opostos. \label{fig:lorentz2}} \end{figure}
Um caso particularmente interessante da força de Lorentz verifica-se quando a velocidade da carga é perpendicular tanto ao campo eléctrico como ao magnético. Nesse caso, as duas forças têm a mesma direcção. Adotando uma configuração como a representada na Fig. , as forças eléctrica e magnética têm sentidos opostos e podem compensar-se, anulando-se, o que permite que a carga mantenha uma trajectória rectilínea.
Nesta repetição da experiência de Thomson iremos utilizar estes dois princípios para determinar a razão $q/m$. Num primeiro conjunto de medidas, iremos determinar o raio da trajectória de um feixe de raios catódicos na presença de um campo magnético. No segundo conjunto de medidas iremos equilibrar as forças de um campo magnético e um eléctrico de modo a que o feixe tenha uma forma aproximadamente rectilínea.
\newpage \section{Figuras dos aparelhos da montagem experimental}
\newpage
\section{\sf Procedimento Experimental} \subsection {Material}
O tubo TRC tem um filamento alimentado por 6.3 V (em modo AC). Este filamento emite electrões por efeito termiónico. Entre o ânodo e o cátodo do tubo estabelecem-se diferenças de potencial $ (V_+ - V_-) = U_a$ . Os electrões são acelerados entre o cátodo e o ânodo e a sua velocidade à saída do ânodo é função de $U_a$.
Ao entrarem na parte esférica do tubo, os electrões podem ser deflectidos por \emph{campos magnéticos} provocados por correntes que percorrem as bobinas de Helmholtz e/ou por \emph{campos eléctricos} devidos à aplicação de tensão entre duas placas paralelas ligadas aos pontos 1 e 2 do diagrama (Fig. ).
O campo de indução magnética $B$ devido às bobinas de Helmholtz é aproximadamente uniforme na região central entre as bobinas, e para uma corrente $I$ é dado por\footnote{No sistema SI, a unidade de campo magnético é o Tesla (T), sendo 1\,T=1\,Weber/m$^{2}$ .}: \begin{align} \label{eq:helmotz} n &= 320\textrm{ espiras} \nonumber \\ B = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2} \cdot \frac{\mu_0 n I}{r} = \frac{32 \pi n }{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{I}{r} \cdot 10^{-7}\textrm{ Weber/m}^{2}
\qquad r &= 0.068\textrm{ m} \\
r &= d/2 \nonumber \end{align}
\subsection{\sf DETERMINAÇÃO DE $q/m$ POR DEFLEXÃO MAGNÉTICA} \subsubsection{\sf Trajectórias de partículas carregadas sujeitas a um campo magnético constante} Quando se aplica uma tensão $U_a$ entre o ânodo e o cátodo (sem aplicar tensão entre os pontos 1 e 2 representados na Fig. ), pode admitir-se que a velocidade final $v$ dos electrões ao abandonarem o ânodo é dada pela seguinte expressão
Os electrões entram, com velocidade horizontal, na parte esférica do tubo, onde são deflectidos pelo campo magnético $\vec{B}$ (com $\vec{B}\perp\vec{v})$. A sua trajectória passa então a ser circular, com raio $R$, verificando-se:
\frac{q}{m} = \frac{2\, U_a}{B^2\,R^2}
\end{equation} em que: \begin{description} \item[$U_a$] – impõe-se e mede-se diretamente no voltímetro da fonte de tensão. \item[$B$] – calcula-se, para uma dada corrente $I$, a partir da expressão (\ref{eq:helmotz}). \item[$R$] – determina-se por leitura no écran fluorescente, das coordenadas de posição $y$ (horizontal) e $z$ (vertical) de pontos do feixe. Por construção do tubo verifica-se: \begin{equation} \label{eq:eR}
R = \frac{y^2 + z^2}{2 \, z}
\end{equation} \end{description}
\subsubsection{\sf Modo de proceder}
\subsection{\sf DETERMINAÇÃO DE $q/m$ POR DEFLEXÃO\\ MAGNÉTICA E ELÉCTRICA QUASE COMPENSADA }
\subsubsection{\sf Situação de equilíbrio entre as interacções eléctrica e magnética}
Se, na força de Lorentz, os dois termos se equilibrarem -- ou seja, se as forças electrostática e magnética forem de igual módulo e de sentidos opostos -- a carga $q$ não é desviada da sua trajectória. No nosso caso, em que $\vec{B} \perp \vec{v}$ , a condição de equilíbrio é dada por: \begin{equation} \label{eq:equil}
|\vec{E}| = v\, |\vec{B}|
\end{equation}
\subsubsection{\sf Montagem a efetuar}
Aproveitando a montagem já efectuada no ponto anterior, ligue agora os terminais 1 e 2 (Fig. ) à fonte de alta tensão que gera a tensão $U_a$, produzindo assim na região do écran fluorescente um campo eléctrico. Fazendo com que as bobinas sejam percorridas por uma corrente com intensidade e ``sentido convenientes, podemos obter uma força de origem magnética anti-paralela à provocada pelo campo $\vec{E}$. Deste modo, a trajectória visualizada no écran será aproximadamente retilínea, sendo a condição de equilíbrio dada por ():
\begin{equation*} %\label{eq:equil2}
|\vec{E}| = v\, |\vec{B}| = \frac{U_a}{d} \qquad \qquad \textrm{(\ref{eq:equil}a)}
\end{equation*} onde $d$ é a distância entre as placas do écran fluorescente e $U_a$ a tensão entre as mesmas, que é como se disse igual à tensão de aceleração.
A equação (a) permite-nos calcular a velocidade dos electrões, uma vez que podemos conhecer os valores de todas as outras variáveis aí intervenientes. O conhecimento de $v$ permite-nos calcular $q/m$ tendo em conta que, segundo (), deverá ser:
Ou finalmente, por combinação com (a):
\subsubsection{\sf Modo de proceder}