Diferenças entre edições de "Notas de apoio às aulas teóricas"
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=Derivadas parciais= | =Derivadas parciais= | ||
− | + | Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função f≡f(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais: | |
− | + | * Derivada parcial segundo \(x:\,\frac{\partial f}{\partial x}\) | |
− | + | * Derivada parcial segundo \(y:\,\frac{\partial f}{\partial y}\) | |
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− | + | Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo partial em vez de d. | |
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+ | Exemplos: | ||
* f(x,y)=x3y2⟹∂f∂x=3x2y2,∂f∂y=2x3y | * f(x,y)=x3y2⟹∂f∂x=3x2y2,∂f∂y=2x3y | ||
* f(x,y)=e−ysin(x)⟹∂f∂x=e−ycos(x),∂f∂y=−e−ysin(x) | * f(x,y)=e−ysin(x)⟹∂f∂x=e−ycos(x),∂f∂y=−e−ysin(x) |
Revisão das 18h04min de 23 de janeiro de 2025
Derivadas parciais
Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função f≡f(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais:
- Derivada parcial segundo x:∂f∂x
- Derivada parcial segundo y:∂f∂y
Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo partial em vez de d.
Exemplos:
- f(x,y)=x3y2⟹∂f∂x=3x2y2,∂f∂y=2x3y
- f(x,y)=e−ysin(x)⟹∂f∂x=e−ycos(x),∂f∂y=−e−ysin(x)
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau
Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:
adfdt=b−cf
Substituindo g(t)=f(t)−bc, temos:
dgdt=−cag
A solução é:
g(t)=Ae−cat
Substituindo de volta em f(t):
f(t)=bc+Ae−cat
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
ad2fdt2+bf=0
em que f≡f(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:
d2fdt2=−baf
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
f(t)=Asin(√bat)+Bcos(√bat)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos ω0=√ba e reescrevemos:
f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)
A solução geral pode também ser escrita como:
f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)
\noindent onde A0 é a amplitude, ϕ0 é a fase inicial e ω0 é a frequ\^encia angular, com per\'iodo T0=2πω0.
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
Pêndulo | Massa-mola | |
---|---|---|
Equação diferencial | ¨θ=−gℓθ | ¨x=−kmx |
Função f(t) | Ângulo θ(t) | Posição x(t) |
¨f | Acel. angular α(t)=¨θ | Aceleração a(t)=¨x |
a | ℓ | m |
b | g | k |
A0 | Amplitude máxima θ0 | Amplitude máxima A0 |
ϕ0 | (fase inicial) | (fase inicial) |
ω0 | √g/ℓ | √k/m |