Diferenças entre edições de "Notas de apoio às aulas teóricas"

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=Derivadas parciais=
 
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Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se ff(x,y):
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Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função ff(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais:
  
<math>
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* Derivada parcial segundo \(x:\,\frac{\partial f}{\partial x}\)
    \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}
+
* Derivada parcial segundo \(y:\,\frac{\partial f}{\partial y}\)
</math>
 
  
Exemplo:
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Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo partial em vez de d.
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Exemplos:
 
* f(x,y)=x3y2fx=3x2y2,fy=2x3y
 
* f(x,y)=x3y2fx=3x2y2,fy=2x3y
 
* f(x,y)=eysin(x)fx=eycos(x),fy=eysin(x)
 
* f(x,y)=eysin(x)fx=eycos(x),fy=eysin(x)

Revisão das 18h04min de 23 de janeiro de 2025

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função ff(x,y) que depende das variáveis x e y tem duas derivadas parciais:

  • Derivada parcial segundo x:fx
  • Derivada parcial segundo y:fy

Para calcular cada uma das derivadas parciais, tratam-se as outras variáveis como se fossem uma constante. Note que as derivadas parciais são assinaladas com o símbolo partial em vez de d.

Exemplos:

  • f(x,y)=x3y2fx=3x2y2,fy=2x3y
  • f(x,y)=eysin(x)fx=eycos(x),fy=eysin(x)

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:

adfdt=bcf

Substituindo g(t)=f(t)bc, temos:

dgdt=cag

A solução é:

g(t)=Aecat

Substituindo de volta em f(t):

f(t)=bc+Aecat

Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

ad2fdt2+bf=0

em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:

d2fdt2=baf

Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:

f(t)=Asin(bat)+Bcos(bat)

onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos ω0=ba e reescrevemos:

f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)

A solução geral pode também ser escrita como:

f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)

\noindent onde A0 é a amplitude, ϕ0 é a fase inicial e ω0 é a frequ\^encia angular, com per\'iodo T0=2πω0.

Exemplos

Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:

Pêndulo Massa-mola
Equação diferencial ¨θ=gθ ¨x=kmx
Função f(t) Ângulo θ(t) Posição x(t)
¨f Acel. angular α(t)=¨θ Aceleração a(t)=¨x
a m
b g k
A0 Amplitude máxima θ0 Amplitude máxima A0
ϕ0 (fase inicial) (fase inicial)
ω0 g/ k/m