Óptica geométrica e lentes

Uma das principais aplicações da óptica geométrica consiste no estudo da formação de imagens: dado um objecto numa dada posição, como desenhar um sistema óptico que permita transferir uma imagem desse objecto para uma posição diferente? É um problema que tem aplicações desde o olho humano até ao desenho de lentes e fibras ópticas.

Uma lente é um dos principais elementos usados em sistemas ópticos, e consiste tipicamente num sólido transparente com duas superfícies esféricas. Dependendo da curvatura destas superfícies, uma lente pode ser usada para aumentar ou diminuir o tamanho de um objecto, ou trazê-los objectos distantes para o ponto focal. As lentes são usadas por exemplo em óculos, câmaras, microscópios, telescópios e muitos outros sistemas de formação de imagem.

Um objecto iluminado uniformemente é considerado como uma fonte de raios, emitidos em todas as direcções. Podemos escolher um ponto no objecto e um conjunto adequado de raios, e traçar o seu percurso através do sistema até encontrar o correspondente ponto na imagem. Por convenção, desenha-se o sistema óptico em torno de um eixo, que coincide com o seu eixo geométrico, e os raios propagam-se da esquerda para a direita.

Neste documento apresentamos uma introdução à elaboração de construções geométricas usando lentes delgadas.

Aproximações

Fig. 4 - Definições utilizadas.

Utilizaremos as duas seguintes aproximações comuns, que facilitam grandemente os cálculos a efectuar:

Lentes delgadas	Uma lente é considerada ‘’delgada’’ quando a sua espessura $d$ é desprezável face à sua distância focal $f$.
Aproximação paraxial	Admitimos que todos os raios envolvidos são paraxiais, isto é, (i) situam-se próximo do eixo óptico e (ii) o ângulo $\alpha$ que fazem com esse eixo permite utilizar as aproximações $\sin \alpha \approx \alpha$ e $\tan \alpha \approx \alpha\,$, tipicamente válidas para $\alpha \lesssim 5^{\circ}$.

A Fig. 4 ilustra a geometria relevante para estas definições, sendo $f$ a distância focal, $d\ll f$ a espessura da lente delgada e $\alpha$ o ângulo entre o raio e o eixo óptico.

Convenções

Fig. 5 - Convenções utilizadas para formação de imagens por lentes.

A Fig. 5 ilustra os principais parâmetros do traçado de raios através de uma lente simples.

1. O objecto $AB$ fica (por definição) do lado esquerdo da lente, a uma distância $d_O>0$ desta; caso o objecto esteja do lado direito, temos $d_O<0$ (que é o caso do objecto virtual abordado mais à frente)
2. A imagem $A'B'$ está do lado direito da lente, a uma distância $d_I>0$ desta; caso a imagem esteja do lado esquerdo, temos $d_I<0$
3. $F_0$ é a distância focal do lado do objecto, $F_I$ é a distância focal do lado da imagem. No caso de uma lente fina, ambas são iguais a $f$, e marcam-se para auxiliar no traçado.

O raios ópticos que emergem de um dado objecto atravessam a lente e dão origem a uma imagem. A tabela em baixo descreve as propriedades dos dois tipos de imagens possíveis.

Imagens reais	Os raios de luz passam de facto na posição da imagem, isto é, raios que saem do plano do objecto convergem no plano da imagem Podem ser projectadas num alvo
Imagens virtuais	Os raios não passam na imagem, mas esta é visível através da lente Não podem ser projectadas num alvo

As imagens reais são, por exemplo, as criadas por um dispositivo de projecção. Um exemplo de imagem virtual é considerar a imagem de uma lâmpada brilhante: ao passar a mão pelo plano da imagem, se estar for real sente-se o calor, mas se for virtual parecerá apenas "flutuar" no espaço.

De seguida, vamos analisar a formação de imagens para lentes convergentes ($f>0$) e divergentes ($f<0$) em função da posição relativa do objecto e do foco da lente, e derivar relações úteis para lentes delgadas.

Objecto e imagem: focos conjugados e ampliação transversal

Considere de novo a Fig. 5. Cada ponto do objecto em $d_O$ tem um único ponto correspondente na imagem em $d_I$. Isto implica que, caso colocássemos o objecto em $d_I$, a imagem seria formada em $d_O$. Chama-se a estas posições focos conjugados. Pela semelhança de triângulos, temos as seguintes relações entre as dimensões do objecto e da imagem:

$$\begin{array}{lcl} \Delta ABF_O \sim \Delta ODF_O &\to & AB/A'B' = AF_O / F_O 0 &\to & AB/A'B' = \frac{d_O-f}{ f} \\ \Delta ABO\sim \Delta A'B'O &\to & AB/A'B' = AO / O A' &\to & AB/A'B' = d_O / d_I \\ \Delta COF_I \sim \Delta A'B'F_I &\to & AB/A'B' = OF_I / F_I A' &\to & AB/A'B' = \frac{f}{ d_I-f} \end{array}$$

Combinando a primeira e a última das expressões acima obtemos a equação dos focos conjugados:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_O} +\frac{1}{d_I}$$

Uma forma alternativa e muitas vezes conveniente de exprimir esta relação consiste em utilizar as distâncias do objecto e da imagem aos respectivos focos. Designando estas distâncias por $x_O=AF_O$ e $x_I=A'F_I$, tem-se $d_O=f+x_O$ e $d_I=f+x_I$. Substituindo na expressão acima, obtém-se a chamada formulação de Newton para a equação dos focos conjugados:

$$x_Ox_I = f^2$$

Por outro lado, sendo $AB$ e $A'B'$respectivamente as dimensões lineares transversais do objecto e da imagem, usamos a segunda das igualdades acima para definir a ‘’ampliação transversal’’ $A$ como:

$$A = \frac{A'B'}{ AB} =\frac{d_I}{d_O}$$

A imagem é ‘’direita’’ se $A<0$ e ‘’invertida’’ se $A>0$. Podemos usar estas duas equações para, dados $f$e $d_O$, determinar as seguintes expressões para a posição da imagem $d_I$e a respectiva ampliação $A$:

$$\begin{eqnarray} A&=&\frac{1}{\frac{d_O}{f}-1}\\ d_I&=&d_OA \end{eqnarray}$$

Como exemplo, temos no caso da Fig. 5: $d_O>f \to A> 0\,; d_I > 0$. A imagem resultante é ‘’real’’ e ‘’invertida’’.

Lente convergente ($f>0$)

Imagem real

Este caso verifica-se para $d_O>f$, a imagem é real é pode ser projectada. A imagem é menor ($A<1$) que o objecto se $d_O>2f$ ou maior ($A>1$) se $2f>d_O>0$. Um exemplo do primeiro caso é uma máquina fotográfica: a imagem é posicionada no sensor da câmara, e é (tipicamente) menor que o objecto fotografado. Verifica-se $0 < A \le 1$ pois

$$\infty \gt d_O \ge 2 f \quad \to \quad f \lt d_I \le 2 f \quad \to \quad 0 \lt A\le 1$$

Um exemplo do segundo caso é um projetor de cinema ou de imagem de computador: a imagem é posicionada num écran, e é maior que o objecto (película ou chip). Verifica-se $1 \le A < \infty$ pois

$$f \lt d_O \le 2 f \quad \to \quad \infty \gt d_I \ge 2f \quad \to \quad \infty \gt A\ge 1$$

Imagem virtual

Fig. 6 - Formação de imagem virtual com uma lente convergente.

Este caso verifica-se quando $d_O<f$, por exemplo quando utilizamos uma lupa para ver objectos com um tamanho aumentado, e está esquematizada na Fig. 6. Dependendo da posição $d_O$, verificam-se as seguintes relações

$$\begin{array}{lcl} 0 < d_O \le \frac{f}{2} \qquad & 0 > d_I \ge -f \quad& -1 >A \ge -2\\ \frac{f}{2} \le d_O < f \qquad& -f\ge d_I >-\infty \quad& -2 > A > -\infty \end{array}$$

Repare-se que resulta $d_I<0$ (a imagem está do mesmo lado que o objecto) e $A<0$ pelo que a imagem é (i) virtual e (ii) direita, para um observador colocado à direita da lente.

Lente divergente ($f<0$)

Fig. 7 - Formação de imagem virtual com uma lente divergente.

Fig. 8 - Tabela resumo para lentes convergentes e divergentes.

Considere-se a situação representada na Fig. 7, que mostra uma lente divergente ($f<0$) e um objecto $AB$ ($d_O>0$). Note-se que, no caso da lente divergente, os pontos $F_O$e $F_I$ trocam de posição. Nesta configuração a imagem resultante $A'B'$ é sempre virtual e direita com $d_I <0$ (imagem do mesmo lado do objeto), pois

$$f\lt0; \quad d_O\gt 0 \quad \to \quad A\lt0; \quad d_I \lt0$$

Podemos verificar que a equação dos focos conjugados se mantém válida neste caso, recorrendo à semelhança de triângulos:

$$\begin{array}{lcl} \Delta ABO \sim \Delta A'B'O & \to & AB/A'B' = \frac{d_0}{d_I} & \to & -\infty < A < 0 \\ \Delta ABF_0\sim \Delta ODF_O &\to & \frac{d_0 + |f|}{|f|} = AB/A'B' & \to & \frac{d_0 + |f|}{|f|} = \frac{d_0 }{d_I} \\ \Delta F_I OC \sim \Delta F_I A'B' &\to & \frac{|f|}{|f| - |d_I|} =AB/A'B' & \to & \frac{|f|}{|f| - |d_I|} = \frac{d_0 }{|d_I|} \end{array}$$

Nestas expressões, que descrevem distâncias, foi necessário utilizar os valores em módulo de $f$ e de $d_I$, que são ambos negativos. Fazendo agora as substituições $|f|\to -f$ e $|d_I|\to -d_I$ recupera-se a equação dos focos conjugados.

A Fig. 8 apresenta uma tabela resumo de todas as situações analisadas acima.

Objectos virtuais

Em determinadas situações, podemos lidar com objectos virtuais ($d_O<0$), isto é, os raios ópticos têm origem não num objecto sólido, mas num plano do espaço, e estamos interessados em estudar a sua propagação a partir desse plano e a formação da imagem correspondente. Um exemplo típico consiste em estudar a formação da imagem de uma imagem primária. Nestes casos, o objecto virtual é identificado a tracejado no diagrama de raios, como ilustrado nos exemplos em baixo.

Lente convergente $f>0$

Fig. 9 - Lente convergente com objecto virtual e imagem real.

A Fig. 9 representa um objecto virtual ($d_O<0$, à direita da lente) e a correspondente imagem. A imagem resultante é real ($d_I>0$, também à direita) e direita ($A<0$), verificando-se

$$\begin{array}{lcl} d_O < 0 ; \quad && f > 0 \quad \to \quad A<0\\ \frac{d_I}{-|d_O|} & =& \frac{f}{-|d_O| -f} \end{array}$$

Lente divergente $f<0$ - Imagem virtual

Fig. 10 - Lente divergente com objecto virtual e imagem virtual.

A Fig. 10 representa um objecto virtual ($d_O<0$, à direita da lente) para uma lente divergente ($f<0$) e a correspondente imagem. Na situação da figura, o objecto está à direita do foco $F_O$: $|d_O|>|f|$. Verifica-se assim:

$$\begin{array}{lcl} d_O < 0 & & f < 0 \\ \frac{d_I}{|d_O|} & =& \frac{|f|}{|d_O| -|f|} \end{array}$$

A imagem resultante é também virtual $d_I<0$, à esquerda da lente) e invertida ($A>0$), verificando-se as seguintes relações em função da distância:

$$|d_O| = \left\{ \begin{array}{rl} |d_O| = |f|: & |d_I| \to \infty, \quad A \to \infty ,\\ |f| \lt |d_O| \lt 2|f|: & |d_I| \gt |d_O| , \quad A \gt1 ,\\ |d_O| = 2|f|: & |d_I| = |d_O|, \quad A =1 ,\\ |d_O| \gt 2|f|: & |d_I| \lt|d_O| , \quad 0 \lt A \lt1 . \end{array} \right. %f\lt0 \quad \to d_O\gt 0 ; \quad d_I \lt0$$

Lente divergente $f>0$ - Imagem real

Fig. 11 - Lente divergente com objecto virtual e imagem real.

A Fig. 11 representa um objecto virtual ($d_O<0$, à direita da lente) para uma lente divergente ($f<0$) e a correspondente imagem. Na situação da figura, o objecto está à esquerda do foco $F_O$: $|d_O|<|f|$. Verifica-se assim:

$$\begin{array}{lcl} d_O < 0 & & f < 0 \nonumber\\ \frac{d_I}{|d_O|} & =& \frac{|f|}{|f|-|d_O|} \quad \to \quad A=\frac{d_I}{d_O} =\frac{f}{d_O-f}<0 \nonumber \end{array}$$

A imagem resultante é agora real ($d_I>0$, à direita da lente) e direita ($A<0$), verificando-se as seguintes relações em função da distância:

$$|d_O| = \left\{ \begin{array}{rl} |d_O| \to |f|: & |d_I| \to \infty, \quad A \to -\infty ,\\ |d_O| = |f|/2: & |d_I| = f, \quad A =-2 ,\\ |d_O| =0: & |d_I| =0 , \quad A=-1. \end{array} \right. %f\lt0 \quad \to d_O\gt 0 ; \quad d_I \lt0$$