Diferenças entre edições de "Probabilidade e estatística"
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# Calcule a probabilidade de, num qualquer dia, um cartão de crédito ter sido usado fraudulentamente sabendo que foi utilizado em mais do que dois concelhos e que movimentou quantias elevadas. | # Calcule a probabilidade de, num qualquer dia, um cartão de crédito ter sido usado fraudulentamente sabendo que foi utilizado em mais do que dois concelhos e que movimentou quantias elevadas. | ||
# Determine a probabilidade de ter ocorrido uma utilização fraudulenta de um cartão que não foi usado em mais do que dois concelhos ou não movimentou quantias elevadas num certo dia. Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e comente. | # Determine a probabilidade de ter ocorrido uma utilização fraudulenta de um cartão que não foi usado em mais do que dois concelhos ou não movimentou quantias elevadas num certo dia. Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e comente. | ||
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| + | O fornecedor de sementes F1 atesta que a probabilidade de germinação de cada uma das suas sementes é 0.95, enquanto que o fornecedor F2 garante que a probabilidade de cada uma das suas sementes não germinar é 0.1. Um agricultor adquiriu um pacote de sementes de F1 e outro de F2, contendo 50 e 30 sementes, respectivamente. Tendo havido germinação de uma semente, escolhida ao acaso entre as compradas pelo agricultor, qual é a probabilidade de ela ser proveniente do fornecedor F2? | ||
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| + | O controlo de qualidade de um fabricante de chips electrónicos é feito através de um teste que identifica correctamente os produtos defeituosos em 99% dos casos, mas que também indica como | ||
| + | defeituosos 5% dos produtos em boas condições. Admitindo que 1% dos chips fabricados têm defeitos e que o teste aplicado a um chip, escolhido ao acaso da produção, indicou o chip como sendo defeituoso, calcule a probabilidade de esse chip estar em boas condições. | ||
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| + | Um cliente de uma dada empresa combina a compra de uma remessa de 30 parafusos com a condição de devolvê-la se ao testar uma amostra de 3 parafusos, escolhidos ao acaso e sem reposição, não encontrar pelo menos dois em boas condições. É sabido que na encomenda remetida vão efectivamente 25 parafusos em boas condições, sendo os restantes defeituosos. | ||
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| + | # Calcule a probabilidade de a encomenda ser devolvida e obtenha o desvio padrão do número de parafusos defeituosos existentes na amostra testada. | ||
| + | # Determine a probabilidade de o 2o parafuso extraído ser defeituoso e verifique se esse valor coincide com o que se obteria caso a seleção da amostra de parafusos fosse feita com reposição. | ||
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| + | *AUTOR: Equipa de Probabilidades e Estatística | ||
| + | *MATERIA PRINCIPAL: Conceitos Básicos de Probabilidades | ||
| + | *DESCRICAO: Conceitos Básicos de Probabilidades | ||
| + | *DIFICULDADE: * | ||
| + | *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 5 min | ||
| + | *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 15 min | ||
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| + | Uma empresa financeira desenvolveu um modelo de forma a prever, sob determinadas condições macroeconómicas, a ocorrência de recessões económicas. O modelo faz previsões correctas quando ocorre recessão em 80% dos casos, mas faz previsões incorrectas quando não ocorre recessão em 10% dos casos. Dados históricos mostram que a probabilidade de ocorrência de recessão económica, nas condições de uso do modelo, é de 0.2. Supondo verificadas as condições de uso do modelo, calcule: | ||
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| + | # A probabilidade de ocorrer recessão económica, sabendo que o modelo prevê a ocorrência desta. | ||
| + | # A probabilidade de ocorrer recessão económica ou o modelo prever a ocorrência de recessão económica. | ||
==Variáveis aleatórias== | ==Variáveis aleatórias== | ||
Revisão das 19h57min de 10 de dezembro de 2015
Probabilidades
Conceitos básicos
Metadata
Considere dois acontecimentos arbitrários, A e B, associados à mesma experiência aleatória. Será que a dupla desigualdade P(A)+P(B)−1≤P(A∪B)≤P(A)+P(B) é necessariamente verdadeira?
Metadata
Numa dada experiência aleatória, sejam A e B dois acontecimentos independentes, tais que P(A)=P(B)=1/2. Calcule P[A|(A∪B)].
Metadata
Considere dois acontecimentos B e C, com probabilidades não nulas, associados à mesma experiência aleatória, tais que: P(C)=0.3,P(B|C)=0.4,P(ˉB|ˉC)=0.8 Calcule P(C|B).
Metadata
Uma fábrica produz chips em 5 linhas de produção que são enviados para o mercado em lotes. Todas as linhas produzem a mesma quantidade de lotes e cada lote contém apenas unidades produzidas por uma única linha. Em condições normais, cada lote produzido contém 2 % de chips defeituosos. Todavia, num dado mês a ocorrência de problemas mecânicos na linha L1 fez com que esta passasse a produzir lotes com 5% de chips defeituosos durante esse período.
- Um chip retirado ao acaso de um lote produzido nesse mês revelou-se defeituoso. Qual a probabilidade de esse chip ter sido produzido pela linha L1?
- Um cliente, que recebeu um lote produzido naquele mês, decide testar 3 chips retirados ao acaso e com reposição do lote. Qual a probabilidade de encontrar apenas um chip defeituoso?
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Um parque de estacionamento frente a um edifício de habitação tem alguns lugares reservados para a largada de crianças, deficientes e idosos ou para efectuar descargas rápidas. Os utilizadores do parque de estacionamento foram classificados em 3 categorias: moradores-proprietários, moradores-inquilinos e visitantes. De acordo com um estudo sobre a ocupação dos lugares reservados, as probabilidades de um ocupante dos mesmos ser de cada uma das três categorias são 0.4, 0.5 e 0.1, respectivamente. Considere que o uso indevido dos lugares reservados por utilizadores das categorias moradores-proprietários, moradores-inquilinos e visitantes ocorre com probabilidades iguais a 0.2, 0.3 e 0.8, respectivamente.
- Qual é a probabilidade de um utilizador do parque de estacionamento fazer uso indevido dos lugares reservados?
- Ao encontrar um automóvel estacionado indevidamente num dos lugares reservados, qual é a probabilidade de ele ser de um visitante?
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Uma fábrica possui 3 linhas de produção de lâmpadas (A, B e C) que são responsáveis por 15%, 35% e 50% da produção global. Suponha que a probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa sabendo que foi produzida por cada uma dessas linhas de produção é 0.01, 0.05 e 0.02, respectivamente, para A, B e C.
- Se for escolhida ao acaso uma lâmpada da produção global, qual é a probabilidade dessa lâmpada ser defeituosa?
- Se uma lâmpada é considerada não defeituosa, qual é a probabilidade de ser proveniente da linha de produção A?
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Um cadeia de lojas de equipamento de áudio e vídeo comercializa somente 3 marcas diferentes de gravadores de DVD. 50% das vendas de gravadores de DVD dizem respeito à marca A, (a menos cara das três), 30% à marca B e 20% à marca C.
Os fabricantes de qualquer das três marcas oferecem garantia de dois anos. Mais, é sabido que 25% dos gravadores da marca A requer reparação dentro da garantia, ao passo que as correspondentes percentagens são de 20% e 10% para as marcas B e C, respectivamente.
- Obtenha a probabilidade de um cliente requerer reparação dentro do prazo de garantia do gravador que adquiriu.
- Caso um cliente requeira uma reparação dentro do prazo de garantia, qual a probabilidade de ele não ter adquirido um gravador da marca A?
Metadata
Numa fábrica existem três máquinas distintas ( A, B e C) que produzem chips. Estas máquinas são responsáveis pela produção de 25%, 35% e 40% dos chips, respectivamente. Assuma que 5% dos chips produzidos pela máquina A são defeituosos e que as correspondentes percentagens para as máquinas B e C são de 4% e 2%, respectivamente.
- Sabendo que um chip não é defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido produzido pela máquina A ?
- Para um chip seleccionado ao acaso, considere os seguintes eventos: ``chip foi produzido pela máquina A e ``chip é defeituoso.
Serão estes dois eventos independentes? Justifique.
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Uma empresa de segurança classifica as habitações de uma zona residencial, relativamente ao risco de assalto, em três grupos distintos: elevado, médio ou baixo. O primeiro grupo engloba 20% das habitações e o segundo 40%. De acordo com registos efectuados, sabe-se que: 30% das habitações do primeiro grupo já foram assaltadas; 90% das habitações do segundo grupo nunca foram assaltadas; e apenas 1% das habitações do último grupo foram assaltadas.
- Qual a percentagem de habitações já assaltadas nessa zona residencial?
- Sabendo que uma habitação dessa zona residencial nunca foi assaltada, qual a probabilidade de pertencer ao segundo ou ao terceiro grupo?
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As chamadas de telemóveis de determinada rede sem fios podem ser longas com probabilidade 0.4 ou curtas com probabilidade 0.6. O handoff (ou handover ) é o procedimento empregue em redes sem fio para tratar a transição de uma unidade móvel de uma célula para outra de forma transparente ao utilizador. Durante uma chamada longa, feita nessa rede, podem ocorrer zero handoffs, um handoff ou pelo menos dois handoffs, com probabilidades 0.25, 0.25 e 0.5, respectivamente; mas se uma chamada é curta, as ocorrências de zero, um ou pelo menos dois handoffs possuem probabilidades 23, 16 e 16, respectivamente.
- Qual a probabilidade de não ocorrer handoff durante uma chamada nessa rede?
- Calcule a probabilidade de uma chamada ser longa, sabendo que durante essa chamada ocorreram pelo menos dois handoffs.
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Um novo teste de diagnóstico de uma doença infecciosa fornece resultados correctos 99% das vezes quando aplicado a indivíduos infectados e apenas 90% das vezes quando aplicado a indivíduos não infectados. Sabendo que 0.5% dos indivíduos da população estão infectados e que o teste aplicado a um indivíduo, escolhido ao acaso da população, indicou que ele está infectado, calcule a probabilidade desse indivíduo estar efectivamente infectado.
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A produção de peças de uma empresa provém de 3 máquinas, M1, M2 e M3. As máquinas M1 e M2 são responsáveis, respectivamente, por 50% e 30% da produção total. Sabe-se que 5% das peças produzidas pela empresa são defeituosas e que 60% e 30% das peças defeituosas são produzidas, respectivamente, pelas máquinas M1 e M2.
- Calcule a probabilidade de uma peça extraída ao acaso da produção de M1 ser defeituosa.
- Qual é a probabilidade de uma peça, extraída ao acaso da produção da empresa, ter sido produzida por M3 e não ser defeituosa?
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Um sistema de extracção é constituído por duas bombas idênticas, B1 e B2. A empresa responsável pelo fabrico destas bombas de extracção adiantou que, em sistemas deste tipo, a probabilidade de falhar pelo menos uma das duas bombas no período de um ano é 0.07 e que a probabilidade de ambas falharem nesse mesmo período é 0.01.
- Calcule a probabilidade de B1 falhar no período de um ano.
- Determine a probabilidade de B2 falhar no período de um ano condicional a que B1 falhe nesse período.
- Indique, justificando, se as bombas de extracção falham de modo independente no período de um ano.
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Um jardineiro efectua uma sementeira de um determinado número de sementes calibradas de uma espécie de plantas. Por experiência, o jardineiro sabe que cada semente não germina com probabilidade 0.2, independentemente do que acontece com as restantes sementes.
- Se o jardineiro usar 20 sementes, qual é a probabilidade de menos de 4 não germinarem?
- Qual é o menor número de sementes que o jardineiro deve semear para que, com probabilidade superior a 50%, pelo menos 3 sementes não germinem?
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De uma caixa, contendo 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas, retira-se ao acaso uma bola e coloca-se numa segunda caixa que já contém 4 bolas azuis e 2 bolas vermelhas. De seguida, extrai-se ao acaso uma bola da segunda caixa.
- Qual é a probabilidade de extrair bolas da mesma cor das duas caixas?
- Determine a probabilidade de a bola extraída da segunda caixa ser vermelha.
- Se a bola extraída da segunda caixa é vermelha, qual é a probabilidade de se ter extraído da primeira caixa uma bola dessa mesma cor?
Metadata
Um sistema de detecção de utilizações fraudulentas de cartões de crédito regista, em cada dia e para cada cartão, o número de concelhos em que cada cartão é usado e se movimenta quantias elevadas. Dados históricos indicam que 1% das utilizações diárias são fraudulentas e que, de entre essas, em 30% dos casos são movimentadas quantias elevadas e o cartão é utilizado em mais do que dois concelhos no mesmo dia. A probabilidade deste último acontecimento baixa para 1% entre as utilizações legítimas.
- Calcule a probabilidade de, num qualquer dia, um cartão de crédito ter sido usado fraudulentamente sabendo que foi utilizado em mais do que dois concelhos e que movimentou quantias elevadas.
- Determine a probabilidade de ter ocorrido uma utilização fraudulenta de um cartão que não foi usado em mais do que dois concelhos ou não movimentou quantias elevadas num certo dia. Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e comente.
Metadata
O fornecedor de sementes F1 atesta que a probabilidade de germinação de cada uma das suas sementes é 0.95, enquanto que o fornecedor F2 garante que a probabilidade de cada uma das suas sementes não germinar é 0.1. Um agricultor adquiriu um pacote de sementes de F1 e outro de F2, contendo 50 e 30 sementes, respectivamente. Tendo havido germinação de uma semente, escolhida ao acaso entre as compradas pelo agricultor, qual é a probabilidade de ela ser proveniente do fornecedor F2?
Metadata
O controlo de qualidade de um fabricante de chips electrónicos é feito através de um teste que identifica correctamente os produtos defeituosos em 99% dos casos, mas que também indica como defeituosos 5% dos produtos em boas condições. Admitindo que 1% dos chips fabricados têm defeitos e que o teste aplicado a um chip, escolhido ao acaso da produção, indicou o chip como sendo defeituoso, calcule a probabilidade de esse chip estar em boas condições.
Metadata
Um cliente de uma dada empresa combina a compra de uma remessa de 30 parafusos com a condição de devolvê-la se ao testar uma amostra de 3 parafusos, escolhidos ao acaso e sem reposição, não encontrar pelo menos dois em boas condições. É sabido que na encomenda remetida vão efectivamente 25 parafusos em boas condições, sendo os restantes defeituosos.
- Calcule a probabilidade de a encomenda ser devolvida e obtenha o desvio padrão do número de parafusos defeituosos existentes na amostra testada.
- Determine a probabilidade de o 2o parafuso extraído ser defeituoso e verifique se esse valor coincide com o que se obteria caso a seleção da amostra de parafusos fosse feita com reposição.
Metadata
Uma empresa financeira desenvolveu um modelo de forma a prever, sob determinadas condições macroeconómicas, a ocorrência de recessões económicas. O modelo faz previsões correctas quando ocorre recessão em 80% dos casos, mas faz previsões incorrectas quando não ocorre recessão em 10% dos casos. Dados históricos mostram que a probabilidade de ocorrência de recessão económica, nas condições de uso do modelo, é de 0.2. Supondo verificadas as condições de uso do modelo, calcule:
- A probabilidade de ocorrer recessão económica, sabendo que o modelo prevê a ocorrência desta.
- A probabilidade de ocorrer recessão económica ou o modelo prever a ocorrência de recessão económica.