Notas de apoio às aulas teóricas

Fonte: My Solutions
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Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau

Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo

ad2fdt2+bf=0

em que ff(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:

d2fdt2=baf

Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:

f(t)=Asin(bat)+Bcos(bat)

onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos ω0=ba e reescrevemos:

f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)

A solução geral pode também ser escrita como:

f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)

\noindent onde A0 é a amplitude, ϕ0 é a fase inicial e ω0 é a frequ\^encia angular, com per\'iodo T0=2πω0.

Exemplos

Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:


lalala lalala
lalala lalala


\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sistema & Equação diferencial & Frequência angular \\ \hline Pêndulo & \(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) \\ \hline Massa-mola & \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) \\ \hline \end{tabular} \end{center}

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=

Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:

adfdt=bcf

Substituindo g(t)=f(t)bc, temos:

dgdt=cag

A solução é:

g(t)=Aecat

Substituindo de volta em f(t):

f(t)=bc+Aecat

Derivadas parciais

Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se ff(x,y):

fx,fy

Exemplo: \begin{itemize}

   \item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
   \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)

\end{itemize}