Notas de apoio às aulas teóricas
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
ad2fdt2+bf=0
em que f≡f(t) é uma função que só depende de uma variável t (por exemplo, o tempo) e a e b são constantes positivas. Reescrevendo:
d2fdt2=−baf
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
f(t)=Asin(√bat)+Bcos(√bat)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema (posição inicial, velocidade inicial, etc.). Para simplificar, definimos ω0=√ba e reescrevemos:
f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)
A solução geral pode também ser escrita como:
f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)
\noindent onde A0 é a amplitude, ϕ0 é a fase inicial e ω0 é a frequ\^encia angular, com per\'iodo T0=2πω0.
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
lalala | lalala |
lalala | lalala |
\begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Sistema & Equação diferencial & Frequência angular \\ \hline Pêndulo & \(\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{g}{\ell}\theta\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}\) \\ \hline Massa-mola & \(\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x\) & \)\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\) \\ \hline \end{tabular} \end{center}
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=
Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:
adfdt=b−cf
Substituindo g(t)=f(t)−bc, temos:
dgdt=−cag
A solução é:
g(t)=Ae−cat
Substituindo de volta em f(t):
f(t)=bc+Ae−cat
Derivadas parciais
Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se f≡f(x,y):
∂f∂x,∂f∂y
Exemplo: \begin{itemize}
\item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\) \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
\end{itemize}