Notas de apoio às aulas teóricas
Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau
Este tipo de equações aparece frequentemente em sistemas oscilatórios, como o oscilador harmónico (livre ou com atrito). Na ausência de atrito e de outras forças não conservativas, a equação envolve a segunda derivada e um termo linear do tipo
ad2fdt2+bf=0
em que f≡f(t)
d2fdt2=−baf
Podemos perguntar: qual é a função cuja segunda derivada é proporcional à própria função, multiplicada por uma constante negativa? As soluções são combinações lineares de seno e cosseno:
f(t)=Asin(√bat)+Bcos(√bat)
onde A
f(t)=Asin(ω0t)+Bcos(ω0t)
A solução geral pode também ser escrita como:
f(t)=A0sin(ω0t+ϕ0)
\noindent onde A0
Exemplos
Para o pêndulo e o sistema massa-mola, temos os seguintes parâmetros:
Pêndulo | Massa-mola | |
---|---|---|
Equação diferencial | \(¨θ![]() ![]() ![]() ![]() |
\(¨x![]() ![]() ![]() ![]() |
Função f(t)![]() ![]() ![]() ![]() |
Ângulo θ(t)![]() ![]() ![]() ![]() |
Posição x(t)![]() ![]() ![]() ![]() |
d2f/dt2![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Acel. angular α(t)=d2θ/dt2![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Aceleração a(t)=d2x/dt2![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
a![]() |
ℓ![]() |
m![]() |
b![]() |
g![]() |
k![]() |
A0![]() ![]() |
Amplitude máxima θ0![]() ![]() |
Amplitude máxima A0![]() ![]() |
ϕ0![]() ![]() |
(fase inicial) | (fase inicial) |
ω0![]() ![]() |
√gℓ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
√km![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=
Este tipo de equações aparece em sistemas com forças proporcionais à velocidade, como o atrito. A forma geral é:
adfdt=b−cf
Substituindo g(t)=f(t)−bc
dgdt=−cag
A solução é:
g(t)=Ae−cat
Substituindo de volta em f(t)
f(t)=bc+Ae−cat
Derivadas parciais
Se uma função depende de mais de uma variável, podemos calcular derivadas parciais. Por exemplo, se f≡f(x,y)
∂f∂x,∂f∂y
Exemplo: \begin{itemize}
\item \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\) \item \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
\end{itemize}