Diferenças entre edições de "Máquina de Atwood com roldana"

Edição atual desde as 23h30min de 10 de novembro de 2015

Metadata

CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
AREA: Física
DISCIPLINA: Mecânica e ondas
ANO: 1
LINGUA: pt
AUTOR: Ana Mourão
MATERIA PRINCIPAL: Momento de Inércia
DESCRICAO: Máquina de Atwood com roldana
DIFICULDADE: ***
TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
PALAVRAS CHAVE: Máquina, atwood, roldana, momento, inércia, rotação, corpo, rígido

Máquina de Atwood.

Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.

Considere o referencial em que a coordenada y das massas aumenta quando estas sobem.

Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.

Respostas

\( a_1 = -a_2 = a = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{m_R}{2}} g \)

No caso em que a inércia da roldana era desprezável tinhamos:

\( a_1 = -a_2 = a = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \)

Vemos assim, então, que a diferença está no termo \(\frac{m_R}{2}\), que se deve à inércia da roldana e que tem como efeito diminuir o valor da aceleração.

Qual a aceleração angular da roldana?

Respostas

\( \alpha = \frac{a}{R} = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{m_R}{2}} \frac{g}{R} \)

Qual a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio?

Respostas

\( m_1 = m_2 \)

As massas têm que ser iguals, tal como no caso da inércia da roldana desprezável.

Considere \(m_1 = 200\) g e \(m_2 = 100\) g. Calcule o valor das acelerações \(a_1\) e \(a_2\). Compare com a aceleração da gravidade.

Respostas

\( a_1 = - a_2 = - \frac{1}{6} g \)

@@ Linha 17: / Linha 17: @@
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+[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood.]]
-[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood]]
+Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.
+Considere o referencial em que a coordenada y das massas aumenta quando estas sobem.
+* Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
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+'''Respostas'''
+<div class="mw-collapsible-content">
+\( a_1 = -a_2 = a = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{m_R}{2}} g \)
+No caso em que a inércia da roldana era desprezável tinhamos:
+\( a_1 = -a_2 = a = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g \)
+Vemos assim, então, que a diferença está no termo \(\frac{m_R}{2}\), que se deve à inércia da roldana e que tem como efeito diminuir o valor da aceleração.
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+* Qual a aceleração angular da roldana?
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:260px">
+'''Respostas'''
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+\( \alpha = \frac{a}{R} = - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{m_R}{2}} \frac{g}{R} \)
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+* Qual a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio?
+<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:260px">
+'''Respostas'''
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+\( m_1 = m_2 \)
-Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.
+As massas têm que ser iguals, tal como no caso da inércia da roldana desprezável.
-* Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
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-  \marginpar{\includegraphics{\path/maquinadeatwood}}
+</div>
-    \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
-    }{
-    \minisec{Resolução:}
-    Este problema é idêntico ao 3.6 já resolvido e parte da discussão aí feita
-    aplica-se a este caso. A diferença reside agora na consideração do papel
-    da roldana. Com efeito ao rodar, a roldana tem momento angular. A acção
-    conjunta das duas forças $\vec{F}_i$ que se exercem em cada lado da roldana
-    (cada uma de módulo igual à tensão exercida pela corda na massa respectiva),
-    se não se equilibrarem, determinam a variação desse momento angular, isto é
-    uma aceleração angular, $\alpha$. \\
-    \marginpar{
-      \begin{tikzpicture}
-      {
-        \begin{scope}[black,line width=2pt,->] % P
-          \draw (-1,-1.9) -- node[left=4pt] {\textit{$\vec{P}_1$}} (-1,-2.9);
-          \draw (1,-1.4) -- (1,-2.2) node[below] {\textit{$\vec{P}_2$}};
-        \end{scope}
-        % Massas
-        \begin{scope}[shape aspect=0.5, cylinder uses custom fill, cylinder end fill=red!50, cylinder body fill=red!25]
-          \node[cylinder, rotate=90] at (-1,-1.5) {$m_1$};
-          \node[cylinder, rotate=90] at (1,-1.0) {$m_2$};
-        \end{scope}
-        % Corda
-        \draw[brown,line width=1.5pt] (-1,-1.0) -- (-1,1.5) arc[radius=1,start angle=180, end angle=0] -- (1,1.5) -- (1,0);
-        \begin{scope}[green!70!black,line width=2pt,->] % F
-          \draw (-1,1.5) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_1}$}} (-1,0.5);
-          \draw (1,1.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_2}$}} (1,0.6);
-        \end{scope}
-        % Roldana
-        \draw[line width=0.5pt,->] (-0.84,2.4) arc[start angle=120, end angle=170, radius=.7] node[left=2pt] {\textit{$\color{black}\alpha$}};
-        \fill[even odd rule, fill=orange!50] (0,1.5) circle (1); % (0,1.5) circle (0.7) (0,1.5) circle (0.15);
-        \draw (0,1.5) -- node[below,] {\textit{$\color{black}R$}} (1,1.5);
-        \draw[color=brown!80,line width=2pt] (0,1.5) -- (0,2.75);
-        %
-        \begin{scope}[red!70!black,line width=2pt,->] % T
-          \draw (-1,-1) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_1}$}} (-1,0);
-          \draw (1,-0.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_2}$}} (1,0.3);
-        \end{scope}
-      };
-      \begin{scope}[on background layer]
-        \fill[yellow!20] (-2.5,-3) rectangle (2,2.8);
-      \end{scope}
-      \end{tikzpicture}
-    }
-    Retomando as equações do problema 3.6 mas considerando agora que $T_1$ e $T_2$
-    não são iguais ao contrário do que acontecia nesse problema, podemos escrever
-    \begin{eqnarray}
-      T_1 - m_1g &=& m_1 a_1 \label{R1} \\
-      T_2 - m_2g &=& -m_2 a_1 \label{R2}
-    \end{eqnarray}
-    onde incluimos já o facto da aceleração de ambas as massas ter o mesmo módulo
-    mas sentidos opostos. Por outro lado, o efeito das forças $\vec{F}_i$ é
-    \begin{equation}
-     R F_1 - R F_2 = I\alpha \label{R3}
-    \end{equation}
-    onde $I$ é o momento de inércia. Se atendermos a que $\vec{F}_i = -\vec{T}_i$,
-    precisamos só relacionar a aceleração $a_1$ com a aceleração angular $\alpha$
-    para podermos obter o valor de $a_1$. Para isso consideremos uma pequena
-    variação, $ds$, da corda na roldana quando esta gira de um ângulo $d\phi$.
-    Tem-se $ds = Rd\phi$, o que implica que $a_1 = R\alpha$.\\
-    Subtraindo (\ref{R1}) de (\ref{R2}), usando (\ref{R3}) e as relações acima,
-    obtem-se
-    \[ \frac{I}{R^2}a_1 + (m_1-m_2)g = - (m_1+m_2)a_1 \]
-    usando o valor do momento de inércia para um disco em relação a um eixo central
-    encontrado no problema \ref{pb:disco} obtemos
-    \[ a_1 = - \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+m_r/2}g\,, \quad a_2 = -a_1 \]
-    Comparando com os resultados do problema 3.6 vemos que a aceleração é menor
-    devido à massa da roldana e à variação do seu momento angular.\\
-    \rule{\linewidth}{0.5pt}
-    }
-  \item Qual a aceleração angular da roldana?
-    \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
-    }{
-    \minisec{Resultado:}
-    Da alínea anterior e da relação $a_1 = R\alpha$ vem
-    \[\alpha = -{ m_1 - m_2 \over m_1 + m_2 +m_r/2}\frac{g}{R}\]
-    \rule{\linewidth}{0.5pt}
-    }
-    \item Qual a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio?
-    \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
-    }{
-    \minisec{Resultado:}
-    As massas têm de ser iguais: $m_1=m_2$\\
-    \rule{\linewidth}{0.5pt}
-    }
-  \item Considere $m_1 = \SI{200}{g}$ e $m_2 = \SI{100}{g}$. Calcule o valor
-    das acelerações $a_1$ e $a_2$. Compare com a aceleração da gravidade.
-    \ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
-    }{
-    \minisec{Resultado:}
-    Substituindo valores, obtemos:
-    \[ a_1 = -\frac{1}{6}g\,, \quad a_2 = \frac{1}{6}g\]
-    \rule{\linewidth}{2pt}
-    }
-  \end{enumerate}
+* Considere \(m_1 = 200\) g e \(m_2 = 100\) g. Calcule o valor das acelerações \(a_1\) e \(a_2\). Compare com a aceleração da gravidade.
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:260px">
@@ Linha 129: / Linha 70: @@
 <div class="mw-collapsible-content">
-\( (falta imagem) \)
+\( a_1 = - a_2 = - \frac{1}{6} g \)
 </div>
 </div>

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