Ist178052 em 11h03min de 6 de abril de 2018

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*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes
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Seja S a superfície $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}$ e $\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ uma função de classe $\text{C}^1$ tal que $\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}$ onde $\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A) $\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

B) $\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi$, onde $\text{C}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}$ percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.

C) $\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária interior.

D) $\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi$, onde $\text{V}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}$.

E) Nenhuma das anteriores

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Cálculo de fluxos através superfície - Histórico de revisões

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