Campo gradiente - Histórico de revisões

Ist12543 em 13h48min de 26 de março de 2018

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Ist178052: Criou a página com "
'''Metadata'''
CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário AREA:..."

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Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..."

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2
*MATERIA PRINCIPAL:
*DESCRICAO:
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE:
</div>
</div>

Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\frac{-\text{y}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\end{array}\right)\) e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{z}+2\text{y}\\2\text{x}-\text{z}\\\text{x}-\text{y}\\\end{array}\right)\). Então:

A)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) não é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)

B)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) não é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)

C)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final

D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\)

E)Nenhuma das anteriores

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(campoGradienteIntCurva)

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 *LINGUA: pt
 *AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
-*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais
+*MATERIA PRINCIPAL: Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha
 *DESCRICAO: Integral de linha do campo gradiente
 *DIFICULDADE: **
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
-*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, campo conservativo, integral de linha
+*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, campo conservativo, integral de linha, TFC para integrais de linha
 </div>
 </div>

@@ Linha 23: / Linha 23: @@
 B) Para qualquer curva C em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}>0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-C )Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+C ) Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
 D) Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-E)Nenhuma das anteriores
+E) Nenhuma das anteriores
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 Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

@@ Linha 4: / Linha 4: @@
 *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
 *AREA: Matemática
-*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2
+*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
 *ANO: 1
 *LINGUA: pt
-*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2
+*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
-*MATERIA PRINCIPAL:
+*MATERIA PRINCIPAL: Integrais de linha: integrais de campos escalares e campos vetoriais
-*DESCRICAO:
+*DESCRICAO: Integral de linha do campo gradiente
-*DIFICULDADE: easy
+*DIFICULDADE: **
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
-*PALAVRAS CHAVE:
+*PALAVRAS CHAVE: campo vetorial, campo conservativo, integral de linha
 </div>
 </div>
@@ Linha 19: / Linha 19: @@
 Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\frac{-\text{y}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\end{array}\right)\)  e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{z}^2}\\\text{y}\\\frac{\text{z}}{\text{x}^2+\text{z}^2}\\\end{array}\right)\). Então:
-A)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+A) Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-B)Para qualquer curva C em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}>0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+B) Para qualquer curva C em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}>0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+C )Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-D)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+D) Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
 E)Nenhuma das anteriores

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 </div>
-Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}-\text{y}\\\text{x}-\text{y}\\\end{array}\right)\) e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}\\\frac{\text{y}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\frac{\text{z}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\end{array}\right)\). Então:
+Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\frac{-\text{y}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\end{array}\right)\)  e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{z}^2}\\\text{y}\\\frac{\text{z}}{\text{x}^2+\text{z}^2}\\\end{array}\right)\). Então:
-A)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)
+A)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-B)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^2\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+B)Para qualquer curva C em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}>0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{z}=0\}\)
+D)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-E)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{x}=0\text{,}\text{y}=0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+E)Nenhuma das anteriores
 Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(campoGradienteIntCurva)
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@@ Linha 25: / Linha 25: @@
 C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{z}=0\}
+D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{z}=0\}\)
 E)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{x}=0\text{,}\text{y}=0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final

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	C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final		C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
		+
		+	D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{z}=0\}
		+
		+	E)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{x}=0\text{,}\text{y}=0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
		+
		+	F)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final

	E)Nenhuma das anteriores		E)Nenhuma das anteriores

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 </div>
-Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{x}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\frac{-\text{y}}{\text{x}^2+\text{y}^2-1}\\\end{array}\right)\) e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{z}+2\text{y}\\2\text{x}-\text{z}\\\text{x}-\text{y}\\\end{array}\right)\). Então:
+Considere os campos vetoriais cujas expressões são dadas respectivamente por:\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}-\text{y}\\\text{x}-\text{y}\\\end{array}\right)\) e \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{x}\\\frac{\text{y}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\frac{\text{z}}{\text{y}^2+\text{z}^2}\\\end{array}\right)\). Então:
-A)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) não é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)
+A)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)
-B)\(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) não é um campo gradiente em \(\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^2\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2\neq1\}\)
+B)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{F}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-C)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
+C)Para qualquer curva C no domínio de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
-D)\(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) é um campo gradiente em \(\mathbb{R}^3\)
+D)Para qualquer curva C em \(\mathbb{R}^3\backslash\texttt{"}\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\text{:}\text{x}=0\text{e}\text{y}=0\}\), \(\int_{\text{C}}\text{W}_{\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}}\) só depende de \(\overset{\to}{\pmb{\text{G}}}\) no ponto inicial e no ponto final
 E)Nenhuma das anteriores