Cesto de fruta na plataforma - Histórico de revisões

Ist172693 em 17h44min de 2 de novembro de 2015

2015-11-02T17:44:09Z

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'''Metadata'''
CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário AREA..."

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'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Física
*DISCIPLINA: Mecânica e ondas
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Mourão
*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Linear
*DESCRICAO: Força de sustentação
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
*PALAVRAS CHAVE: Momento, linear, colisões, conservação, força, sustentação, impulso
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:320px">
'''Respostas'''
<div class="mw-collapsible-content">

$ \vec{\Delta p_S} \simeq 1 \times 10^{-3} \vec{e_x} + 1.732 \times 10^{-3} \vec{e_y} $ Kg m $s^{-1}$

A direcção do vector é normal à superfície.

</div>
</div>

\item Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade
angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \SI{10}{cm} de raio
e com \SI{2}{kg} de maçãs a \SI{1,5}{m} do centro da plataforma e que passa
a rodar com a plataforma. Esta tem massa $M=\SI{50}{kg}$ e raio $R=\SI{2}{m}$.
O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é $I=M\,R^2/2\,$.
Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto. \\
Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.
\ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
}{
\minisec{Resolução:}
Podemos considerar o sistema plataforma+cesto isolado e, portanto, o momento
angular total do sistema conserva-se. Este, antes do cesto ser colocado
na plataforma, é
\[ \vec{L}_0 = I\vec{\omega}\,.\]
Ao colocarmos o cesto sobre a plataforma o momento de inércia do sistema aumenta
para um valor $I'$. Uma vez que o momento angular se conserva, a velocidade
angular terá de diminuir para um valor $\omega'$, tal que
\[ \vec{\omega}' = \frac{I}{I'}\vec{\omega}\]
O problema reduz-se assim ao cálculo do momento de inércia do sistema plataforma+cesto.
Esse momento de inércia é a soma do momento de inércia da plataforma
em relação ao eixo central, que conhecemos, com o momento de inércia do cesto
em relação ao eixo central, $I_c$: $I' = I + I_c$. \\
Uma vez que o cesto e a sua massa são pequenas em comparação com a da plataforma,
podemos considerar o cesto pontual, com massa $m$ e um momento angular $mr^2\omega'$.
Isto é, $I_c = m r^2$. Usando este valor em $I'$ e o valor indicado para $I$, obtemos
% Por sua vez, sabe-se que os momentos de inércia em relação a um eixo passando
% no centro de massa e em relação a um eixo paralelo, A, ao primeiro e afastado
% deste de uma distância $r$ estão relacionados por $I_A = I_{CM} + mr^2$. Aplicando
% ao nosso caso, uma vez que o cesto é colocado a uma distância $r=\SI{1,5}{m}$
% do centro, vem $I_c = I_{CM}+mr^2$, onde $I_{CM}$ é o momento de inércia do
% cesto de massa $m$. Admitamos que o cesto se pode representar como um pequeno
% cilindro, de momento de inércia $I_{CM} = m r_c^2/2$.
% Substituindo valores, obtemos
% \[ \omega' = \frac{\omega}{1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2
% \left(1+\frac{r_c^2}{2r^2}\right)} \]
% No entanto uma vez que $r_c \ll r$, podemos desprezar esta razão e escrever
\[ \omega' = \left[1+2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^{-1}\omega \]
por sua vez, como $m\ll M$ e $r<R$, usando a aproximação $(1+x)^a = 1+ax,\; x\ll 1$,
temos
\[ \omega' \approx \left[1-2\frac{m}{M}\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \omega\]
Substituindo valores, obtemos
\[ \omega' \approx 0,955\omega\,.\]
Podemos ainda calcular a energia que é dissipada pelas forças de atrito quando
o cesto é colocado na plataforma. A conservação da energia permite-nos escrever
\[ E_{R_0} = E_{R} + E_{\mathrm{atrito}} \]
onde $E_{R_0}$ e $E_R$ são a energia cinética de rotação antes e depois da
colocação do cesto. Substituindo valores temos
\begin{eqnarray*}
E_{\mathrm{atrito}} &=& E_{R0} - E_{R} \\
&=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1 - \left(1+\frac{I'}{I} \right)\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 \right] \\
&=& \frac{1}{2}I\omega^2\left[1-\frac{1}{1+\frac{mr^2}{I}}\right] \\
&\approx& \frac{1}{2}I\omega^2\left[\frac{mr^2}{I}\right] \\
&\approx& \frac{1}{2}m r^2\omega^2
\end{eqnarray*}
Note que este valor é equivalente à energia cinética de rotação de um anel
($I_{\mathrm{anel}}=mr^2$) de raio $r$ e massa $m$. \\
\rule{\linewidth}{1pt}
}

@@ Linha 11: / Linha 11: @@
 *DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
 *DIFICULDADE: **
-*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
+*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 600 [s]
-*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
+*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
 *PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação
 </div>
@@ Linha 18: / Linha 18: @@
 Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \(10\) cm de raio e com \(2\) Kg de maçãs a \(1.5\) m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa \(M=50\) Kg e raio \(R=2\) m.
-O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é \(I=\frac{M\,R^2}{2}\).
+O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é \(I=\frac{M R^2}{2}\).
 Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto.
 Calcule a velocidade angular da plataforma depois de se colocar o cesto.

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 *LINGUA: pt
 *AUTOR: Ana Mourão
-*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Linear
+*MATERIA PRINCIPAL: Conservação de Momento Angular
-*DESCRICAO: Força de sustentação
+*DESCRICAO: Cesto de fruta na plataforma
-*DIFICULDADE: ***
+*DIFICULDADE: **
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
-*PALAVRAS CHAVE: Momento, linear, colisões, conservação, força, sustentação, impulso
+*PALAVRAS CHAVE: Momento, angular, conservação, atrito, rotação
 </div>
 </div>
+Sobre uma plataforma circular, na horizontal, rodando com velocidade angular de 1 volta em 2 segundos, coloca-se um cesto de \(10\) cm de raio e com \(2\) Kg de maçãs a \(1.5\) m do centro da plataforma e que passa a rodar com a plataforma. Esta tem massa \(M=50\) Kg e raio \(R=2\) m.
+O momento de inércia da plataforma em torno do eixo de rotação é \(I=\frac{M\,R^2}{2}\).
+Considere que há atrito entre a plataforma e o cesto.
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:320px">
@@ Linha 25: / Linha 26: @@
 <div class="mw-collapsible-content">
-\( \vec{\Delta p_S} \simeq 1 \times 10^{-3} \vec{e_x} + 1.732 \times 10^{-3} \vec{e_y} \) Kg m \(s^{-1}\)
+\( \omega_f \simeq 3.01 \) rad/s
 </div>
 </div>

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