Máquina de Atwood com roldana - Histórico de revisões

Ist172693 em 22h30min de 10 de novembro de 2015

2015-11-10T22:30:15Z

Ist172693 em 17h02min de 26 de outubro de 2015

2015-10-26T17:02:35Z

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CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário AREA..."

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'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Física
*DISCIPLINA: Mecânica e ondas
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Ana Mourão
*MATERIA PRINCIPAL: Momento de Inércia
*DESCRICAO: Máquina de Atwood com roldana
*DIFICULDADE: ***
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 1200 [s]
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 2400 [s]
*PALAVRAS CHAVE: Máquina, atwood, roldana, momento, inércia, rotação, corpo, rígido
</div>
</div>

[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood]]

Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas $m_1$ e $m_2$ estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa $m_r=600$ g e raio $R=2$ cm.

* Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas $m_1$ e $m_2$? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
\marginpar{\includegraphics{\path/maquinadeatwood}}
\ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
}{
\minisec{Resolução:}
Este problema é idêntico ao 3.6 já resolvido e parte da discussão aí feita
aplica-se a este caso. A diferença reside agora na consideração do papel
da roldana. Com efeito ao rodar, a roldana tem momento angular. A acção
conjunta das duas forças $\vec{F}_i$ que se exercem em cada lado da roldana
(cada uma de módulo igual à tensão exercida pela corda na massa respectiva),
se não se equilibrarem, determinam a variação desse momento angular, isto é
uma aceleração angular, $\alpha$. \\
\marginpar{
\begin{tikzpicture}
{
\begin{scope}[black,line width=2pt,->] % P
\draw (-1,-1.9) -- node[left=4pt] {\textit{$\vec{P}_1$}} (-1,-2.9);
\draw (1,-1.4) -- (1,-2.2) node[below] {\textit{$\vec{P}_2$}};
\end{scope}
% Massas
\begin{scope}[shape aspect=0.5, cylinder uses custom fill, cylinder end fill=red!50, cylinder body fill=red!25]
\node[cylinder, rotate=90] at (-1,-1.5) {$m_1$};
\node[cylinder, rotate=90] at (1,-1.0) {$m_2$};
\end{scope}
% Corda
\draw[brown,line width=1.5pt] (-1,-1.0) -- (-1,1.5) arc[radius=1,start angle=180, end angle=0] -- (1,1.5) -- (1,0);
\begin{scope}[green!70!black,line width=2pt,->] % F
\draw (-1,1.5) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_1}$}} (-1,0.5);
\draw (1,1.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{F_2}$}} (1,0.6);
\end{scope}
% Roldana
\draw[line width=0.5pt,->] (-0.84,2.4) arc[start angle=120, end angle=170, radius=.7] node[left=2pt] {\textit{$\color{black}\alpha$}};
\fill[even odd rule, fill=orange!50] (0,1.5) circle (1); % (0,1.5) circle (0.7) (0,1.5) circle (0.15);
\draw (0,1.5) -- node[below,] {\textit{$\color{black}R$}} (1,1.5);
\draw[color=brown!80,line width=2pt] (0,1.5) -- (0,2.75);
%
\begin{scope}[red!70!black,line width=2pt,->] % T
\draw (-1,-1) -- node[left=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_1}$}} (-1,0);
\draw (1,-0.5) -- node[right=4pt] {\textit{$\color{black}\vec{T_2}$}} (1,0.3);
\end{scope}
};
\begin{scope}[on background layer]
\fill[yellow!20] (-2.5,-3) rectangle (2,2.8);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
}
Retomando as equações do problema 3.6 mas considerando agora que $T_1$ e $T_2$
não são iguais ao contrário do que acontecia nesse problema, podemos escrever
\begin{eqnarray}
T_1 - m_1g &=& m_1 a_1 \label{R1} \\
T_2 - m_2g &=& -m_2 a_1 \label{R2}
\end{eqnarray}
onde incluimos já o facto da aceleração de ambas as massas ter o mesmo módulo
mas sentidos opostos. Por outro lado, o efeito das forças $\vec{F}_i$ é
\begin{equation}
R F_1 - R F_2 = I\alpha \label{R3}
\end{equation}
onde $I$ é o momento de inércia. Se atendermos a que $\vec{F}_i = -\vec{T}_i$,
precisamos só relacionar a aceleração $a_1$ com a aceleração angular $\alpha$
para podermos obter o valor de $a_1$. Para isso consideremos uma pequena
variação, $ds$, da corda na roldana quando esta gira de um ângulo $d\phi$.
Tem-se $ds = Rd\phi$, o que implica que $a_1 = R\alpha$.\\
Subtraindo (\ref{R1}) de (\ref{R2}), usando (\ref{R3}) e as relações acima,
obtem-se
\[ \frac{I}{R^2}a_1 + (m_1-m_2)g = - (m_1+m_2)a_1 \]
usando o valor do momento de inércia para um disco em relação a um eixo central
encontrado no problema \ref{pb:disco} obtemos
\[ a_1 = - \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+m_r/2}g\,, \quad a_2 = -a_1 \]
Comparando com os resultados do problema 3.6 vemos que a aceleração é menor
devido à massa da roldana e à variação do seu momento angular.\\
\rule{\linewidth}{0.5pt}
}
\item Qual a aceleração angular da roldana?
\ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
}{
\minisec{Resultado:}
Da alínea anterior e da relação $a_1 = R\alpha$ vem
\[\alpha = -{ m_1 - m_2 \over m_1 + m_2 +m_r/2}\frac{g}{R}\]
\rule{\linewidth}{0.5pt}
}
\item Qual a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio?
\ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
}{
\minisec{Resultado:}
As massas têm de ser iguais: $m_1=m_2$\\
\rule{\linewidth}{0.5pt}
}
\item Considere $m_1 = \SI{200}{g}$ e $m_2 = \SI{100}{g}$. Calcule o valor
das acelerações $a_1$ e $a_2$. Compare com a aceleração da gravidade.
\ifthenelse{\not\boolean{SOL}}{%
}{
\minisec{Resultado:}
Substituindo valores, obtemos:
\[ a_1 = -\frac{1}{6}g\,, \quad a_2 = \frac{1}{6}g\]
\rule{\linewidth}{2pt}
}
\end{enumerate}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:260px">
'''Respostas'''
<div class="mw-collapsible-content">

$ (falta imagem) $

</div>
</div>

@@ Linha 17: / Linha 17: @@
 </div>
-[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood]]
+[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood.]]
 Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.
 * Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.

@@ Linha 17: / Linha 17: @@
 </div>
-[[File:MO_maquina_de_atwood_esquema.png|thumb|Máquina de Atwood]]
+* Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
-Considere o sistema representado por uma roldana e duas massas. As duas massas \(m_1\) e \(m_2\) estão ligadas entre si por uma corda que passa pela roldana, como se vê na figura ao lado. A roldana pode ser aproximada por um disco de massa \(m_r=600\) g e raio \(R=2\) cm.
+As massas têm que ser iguals, tal como no caso da inércia da roldana desprezável.
-* Quais as expressões para a aceleração com que se deslocam as massas \(m_1\) e \(m_2\)? Compare com o resultado obtido para o caso com inércia da roldana desprezável.
+</div>
-  \marginpar{\includegraphics{\path/maquinadeatwood}}
+</div>
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:260px">
@@ Linha 129: / Linha 68: @@
 <div class="mw-collapsible-content">
-\( (falta imagem) \)
+\( a_1 = - a_2 = - \frac{1}{6} g \)
 </div>
 </div>

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