Notas de apoio às aulas teóricas - Histórico de revisões

Ist23437 em 17h37min de 12 de fevereiro de 2026

2026-02-12T17:37:51Z

2025-01-23T17:42:35Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:42:17Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:41:59Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:41:35Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:41:17Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:41:01Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:38:55Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:38:36Z

Derivadas parciais

2025-01-23T17:37:19Z

Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau

← Revisão anterior		Revisão das 17h37min de 12 de fevereiro de 2026
Linha 1:		Linha 1:
		+	{\|class="wikitable" style="background-color:#ccddff;"
		+	\| Não consegue ver as equações correctamente? Mude https para http no endereço desta página e recarregue.
		+	\|}
		+
	=Derivadas parciais=		=Derivadas parciais=
	Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função \(f \equiv f(x, y)\) que depende das variáveis \(x\) e \(y\) tem duas derivadas parciais:		Quando uma função depende de mais do que uma variável, é possível calcular a sua derivada segundo cada uma dessas variáveis. Por exemplo, uma função \(f \equiv f(x, y)\) que depende das variáveis \(x\) e \(y\) tem duas derivadas parciais:

@@ Linha 10: / Linha 10: @@
 <center>
 \begin{array}{rl}
-f(x, y)&=x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
+f(x, y)=x^3y^2 &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
-f(x, y)&=e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
+f(x, y)=e^{-y}\sin(x) &\implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
 \end{array}
 </center>

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 Exemplos:
+<center>
 \begin{array}{rl}
 f(x, y)&=x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\

@@ Linha 10: / Linha 10: @@
 \begin{array}{rl}
-f(x, y) &= x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
+f(x, y)&=x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
-f(x, y) &= e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
+f(x, y)&=e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
 \end{array}
 </center>

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 Exemplos:
 \begin{array}{rl}
 f(x, y) &= x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
 f(x, y) &= e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
 \end{array}
 </center>

@@ Linha 11: / Linha 11: @@
 f(x, y) &=& x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y \\
 f(x, y) &=& e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)
-</math></center>
 =Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=

@@ Linha 8: / Linha 8: @@
 Exemplos:
-* \(f(x, y) = x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\)
+<center><math>
-* \(f(x, y) = e^{-y}\sin(x) \implies \frac{\partial f}{\partial x} = e^{-y}\cos(x), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -e^{-y}\sin(x)\)
+\(f(x, y) &=& x^3y^2 \implies \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y\) \\
 =Resolução de equações diferenciais lineares do primeiro grau=

@@ Linha 62: / Linha 62: @@
 Quando \(t\rightarrow\infty\) a função atinge um valor limite \(f_{lim}=b/c\), independentemente do valor da
-velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” \(\tau=a/c\) para a função exponencial. A tabela em baixo mostra a aplicação da resolução acima à Experiência de Millikan.
+velocidade inicial. Podemos ainda definir um “tempo médio” \(\tau=a/c\) para a função exponencial.
 [[file:millikan-graph.png|thumb|upright=1.0 |alt=Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito. |Fig. 1 - Evolução da velocidade de um corpo em queda livre sujeito a uma força de atrito.]]
@@ Linha 88: / Linha 90: @@
 | \(\tau\) || \(\frac{m}{kn}\)
 |}
 =Resolução de equações diferenciais lineares do segundo grau=