Pêndulo Mundial - Histórico de revisões

Ist165721: /* A experiência no e-lab */

2015-12-31T23:28:24Z

A experiência no e-lab

Ist165721: /* A experiência no e-lab */ Imagens.

2015-12-31T23:04:13Z

A experiência no e-lab: Imagens.

Ist165721: /* Introdução teórica */ Espaçamento na matemática.

2015-12-31T22:59:04Z

Introdução teórica: Espaçamento na matemática.

Ist165721: /* Introdução teórica */

2015-12-31T22:55:24Z

Introdução teórica

Ist165721: Markup das equações mateméticas.

2015-12-31T22:49:26Z

Markup das equações mateméticas.

Ist165721: Texto inicial

2015-12-25T14:55:59Z

Texto inicial

Página nova

=Introdução teórica=

O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física.

Quando a massa é afastada da posição de equilíbrio (mantendo o fio direito) e largada, esta descreve um movimento periódico amortecido .

O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.

O equilíbrio de forças a actuar na massa é P sen theta = T onde P = mg e T = m a. Substituindo obtemos

-mg sen theta = m (d^2 l theta/d t^2)

Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (sen theta aprox theta) podemos escrever

d^ theta / d t^2 + omega _0 ^2 = 0 onde omega _0 = sqrt(g/l)

E o periodo do movimento é

T = omega / 2 pi = 2 pi sqrt(l/g)

que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.

(Escrever o resto das grandezas que podem ser deduzidas?)

No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.

Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:

=A experiência em casa=

A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:

(foto)

Ingredientes:
*Um yoyo que será o pêndulo;
*Um anteparo para ajudar a ajustar a posição inicial (e, consequentemente, a amplitude do movimento);
*Uma fita métrica na mesa para medir a posição;
*Um cronómetro (ou telemóvel com função de cronómetro);
*Um ponto de fixação.

Com esta montagem simples podemos estudar a forma como a variação da amplitude inicial ou do comprimento do fio afecta o período. (Amplitudes / comprimentos sugeridos?)

Ao medir o tempo para n períodos ininterruptamente (fazendo depois a média) reduzimos o erro experimental do período (fica como desafio perceber porquê). A autora M. C. Abreu sugere 5 medições de 10 períodos. (pág 36, fundo)

=A experiência no e-lab=

(consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)

O projecto Pêndulo Mundial tem como objectivo evidênciar aos estudantes a variação de g com a latitude.

Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).

A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.

(vídeo do pêndulo a começar)

A sala de controlo é a seguinte:

A tabela de resultados obtida tem esta forma:

Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:

Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)

Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida

g = (4 pi^2 L)/T^2

Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:

g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}

=Últimas considerações=

*Definir bem o comprimento do pêndulo (fio + raio da esfera).
*Não esquecer a aproximação de pequenos ângulos, para amplitudes grandes a expressão para o período deixa de ser válida.
*Desprezar as oscilações iniciais (para que os transientes desapareçam).
*Não esquecer que os valores têm um offset causado por especificidades da montagem.
*Pode usar-se um bengaleiro para fixar o pêndulo
*Pode fazer-se a experiência encostada a um espelho ou vidro/janela para reduzir os erros de paralaxe

@@ Linha 55: / Linha 55: @@
 Cada sala de controlo corresponde a uma das várias montagens com as mesmas características físicas, cada uma posicio-nada em pontos diferentes do globo, o que significa que cada sala pode ser usada para fazer o mesmo estudo que foi feito do o pêndulo caseiro numa montagem maior (o pêndulo mundial tem cerca de 3 metros de altura).
-[[File:BasePendulo.png|thumb]]
+[[File:BasePendulo.png|thumb|A montagem na base do pêndulo mundial, mostrando os componentes.]]
 A montagem dos pêndulos consiste num peso (usamos um peso de arremesso), um fio (aço?), um ponto de apoio (este sim difere nas montagens, mas é irrelevante) e um sistema de lançamento.
@@ Linha 63: / Linha 63: @@
 A sala de controlo permite escolher o ângulo inicial, o número de amostras e a frequência de aquisição.
-[[File:ControloPendulo.png|thumb]]
+[[File:ControloPendulo.png|thumb|A sala de controlo do Pêndulo Mundial.]]
 A tabela de resultados obtida tem esta forma:
-Cada uma das amostras corresponde à posição do pêndulo num determinado instante. A interface do e-lab também mos-tra um gráfico com os resultados:
+[[File:GraficoPendulo.png|thumb|]]
 Vamos escolher as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)
-Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida
+Fazemos o registo de alguns períodos e determinamos g a partir da equação já deduzida: <math>g = \frac{4 \pi ^2 L}{T^2}</math>
 Este processo pode ser repetido para vários pontos do globo, e os resultados plotados em função da latitude. Para compa-rar com valores esperados, podemos usar a equação dada pelo World GeodeticSystem Datum Surface:
-g_{n}(\varphi) = 9.780 326 772\times[1 + 0.005 302 33 \cdot  sin^{2}(\varphi) - 0.000 005 89 \cdot sin^{2}(2\varphi)] \label{harmonica-esferica}
+<math>g_n (\varphi) = 9,780 326 772 \ \left[ 1 + 0.005 302 33 \ sin^2(\varphi) - 0,000 005 89 \ sin^2 \left( \frac{2}{\varphi} \right) \right] </math>
 =Últimas considerações=

@@ Linha 11: / Linha 11: @@
 (falta a imagem)
-O equilíbrio de forças a actuar na massa é <math>P \cdot sen \theta = T</math> onde <math>P = m g</math> e <math>T = m a</math>. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)
+O equilíbrio de forças a actuar na massa é <math>P \ sen \ \theta = T</math> onde <math>P = m g</math> e <math>T = m a</math>. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)
-<math> - m g \cdot sen (\theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}</math>
+<math> - m g \ sen \ \theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}</math>
 Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, <math>sen \theta \approx \theta</math>) podemos escrever

@@ Linha 11: / Linha 11: @@
 (falta a imagem)
-O equilíbrio de forças a actuar na massa é <math>P sen \theta = T</math> onde <math>P = m g</math> e <math>T = m a</math>. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)
+O equilíbrio de forças a actuar na massa é <math>P \cdot sen \theta = T</math> onde <math>P = m g</math> e <math>T = m a</math>. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)
-<math> - m g sen \theta = m l \frac{d^2 theta}{d t^2}</math>
+<math> - m g \cdot sen (\theta = m l \frac{d^2 \theta}{d t^2}</math>
 Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, <math>sen \theta \approx \theta</math>) podemos escrever
-<math> \frac{d^2 theta }{ d t^2} + \omega _0 ^2 = 0</math> onde <math> \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }</math>
+<math> \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \omega _0 ^2 = 0</math> onde <math> \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }</math>
 E o periodo do movimento é
-<math>T = \frac{omega }{ 2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }</math>
+<math>T = \frac{\omega}{2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }</math>
 que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.
@@ Linha 28: / Linha 28: @@
 Nesta actividade experimental vamos fazer o inverso: medir o período de um pêndulo para estudar o valor local da acele-ração gravítica. Mas antes disso, uma pequena experiência para fazer em casa:
 ==A experiência em casa==

@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-=Introdução teórica=
+'''Navegação:''' [[Página principal|Mysolutions]] > [[MOOC FEX]] > Pêndulo Mundial
 O pêndulo simples é uma das experiências básicas em física.
@@ Linha 7: / Linha 9: @@
 O esquema normalmente usado para representar este sistema físico é apresentado na figura 1.
+(falta a imagem)
-O equilíbrio de forças a actuar na massa é P sen theta = T onde P = mg e T = m a. Substituindo obtemos
+O equilíbrio de forças a actuar na massa é <math>P sen \theta = T</math> onde <math>P = m g</math> e <math>T = m a</math>. Substituindo obtemos (para um comprimento fixo)
--mg sen theta = m (d^2 l theta/d t^2)
+<math> - m g sen \theta = m l \frac{d^2 theta}{d t^2}</math>
-Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (sen theta aprox theta) podemos escrever
+Se considerarmos a aproximação de pequenos ângulos (ou seja, <math>sen \theta \approx \theta</math>) podemos escrever
-d^ theta / d t^2 + omega _0 ^2 = 0 onde omega _0 = sqrt(g/l)
+<math> \frac{d^2 theta }{ d t^2} + \omega _0 ^2 = 0</math> onde <math> \omega _0 = \sqrt{ \frac{g}{l} }</math>
 E o periodo do movimento é
-T = omega / 2 pi = 2 pi sqrt(l/g)
+<math>T = \frac{omega }{ 2 \pi} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} }</math>
 que, como podemos observar, depende apenas do comprimento do fio e da aceleração gravítica.
 No programa de física 12º ano (confirmar isto) usa-se esta equação para, dado o comprimento de um pêndulo e uma ace-leração gravítica aproximada, se obter o período.
@@ Linha 30: / Linha 30: @@
-=A experiência em casa=
+==A experiência em casa==
 A construção de um pêndulo em casa é simples. No entanto, ao pensar na montagem, há sempre que ter em mente a re-produtibilidade das medições, ou seja, construir uma montagem que possa ser feita novamente, se necessário no outro lado do mundo. Uma montagem sugerida é:
@@ Linha 48: / Linha 48: @@
-=A experiência no e-lab=
+==A experiência no e-lab==
 (consideramos apenas as oscilações iniciais, após terem estabilizado, para que o período se mantenha mais ou menos constante)