Superficies regioes - Histórico de revisões

Ist12543 em 16h22min de 26 de março de 2018

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Ist12543 em 16h16min de 26 de março de 2018

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Ist178052 em 09h19min de 31 de agosto de 2016

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Ist178052 em 09h18min de 31 de agosto de 2016

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Ist178052: Criou a página com "
'''Metadata'''
CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário AREA:..."

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Criou a página com "<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px"> '''Metadata''' <div class="mw-collapsible-content"> *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário *AREA:..."

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:420px">
'''Metadata'''
<div class="mw-collapsible-content">
*CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
*AREA: Matemática
*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2
*ANO: 1
*LINGUA: pt
*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2
*MATERIA PRINCIPAL:
*DESCRICAO:
*DIFICULDADE: easy
*TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
*TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
*PALAVRAS CHAVE:
</div>
</div>

Seja S a superfície $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}$ e $\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3$ uma função de classe $\text{C}^1$ tal que $\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}$ onde $\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:

A)$\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi$, onde $\text{S}_1$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}$ e $\pmb{\text{n}}$ é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.

Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)

Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

@@ Linha 10: / Linha 10: @@
 *MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
 *DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
-*DIFICULDADE: easy
+*DIFICULDADE: ***
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn

@@ Linha 9: / Linha 9: @@
 *AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
 *MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
-*DESCRICAO:
+*DESCRICAO: Cálculo de fluxos através de uma superfície
 *DIFICULDADE: easy
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn

@@ Linha 4: / Linha 4: @@
 *CONTEXTO : Primeiro ciclo universitário
 *AREA: Matemática
-*DISCIPLINA: Calculo diferencial e integral 2
+*DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral 2
 *ANO: 1
 *LINGUA: pt
-*AUTOR: Equipa Calculo diferencial e integral 2
+*AUTOR: Ana Moura Santos e Miguel Dziergwa
-*MATERIA PRINCIPAL:
+*MATERIA PRINCIPAL: Teorema da Divergência e teorema de Stokes
 *DESCRICAO:
 *DIFICULDADE: easy
 *TEMPO MEDIO DE RESOLUCAO: 15 mn
 *TEMPO MAXIMO DE RESOLUCAO: 30 mn
-*PALAVRAS CHAVE:
+*PALAVRAS CHAVE: fluxo do rotacional, fluxo do campo, trabalho ao longo de uma curva, integral da divergência, teorema da divergência, teorema de Stokes
 </div>
 </div>
@@ Linha 19: / Linha 19: @@
 Seja S a superfície \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\text{z}^2=1\text{,}\text{z}>0\right\}\) e \(\pmb{\text{F}}:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3\) uma função de classe \(\text{C}^1\) tal que \(\int\int_{\text{S}}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}\text{2$\pi$}\) onde \(\pmb{\text{G}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)=\frac{\pmb{\text{F}}\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)}{\text{x}^2+\text{y}^2+(\text{z}-2)^2}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva. Então podemos garantir que:
-A)\(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.
+A) \(\int\int_{\text{S}_1}(\text{rot}\pmb{\text{G}}).\pmb{\text{n}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{x}^2+\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{z}<0\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária com terceira componente sempre positiva.
-B)\(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.
+B) \(\text{$\oint$}_{\text{C}_1}\text{W}_{\pmb{\text{G}}}\text{=}2\pi\), onde \(\text{C}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\text{y}^2+\frac{\text{z}^2}{9}=1\text{,}\text{x}=0\right\}\) percorrida no sentido direto quando observada do semi-eixo positivo dos xx.
-C)\(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.
+C) \(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.
-D)\(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).
+D) \(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).
-E)Nenhuma das anteriores
+E) Nenhuma das anteriores
 Para obter o zip que contém as instâncias deste exercício clique aqui(curvasSupRegioes)
 Se deseja obter o código fonte que gera os exercícios contacte miguel.dziergwa@ist.utl.pt

@@ Linha 25: / Linha 25: @@
 C)\(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.
-D)\(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\)
+D)\(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\).
 E)Nenhuma das anteriores

@@ Linha 25: / Linha 25: @@
 C)\(\int\int_{\text{S}_1}\pmb{\text{G}}.\pmb{\text{n}}\text{=}-4\pi\), onde \(\text{S}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2=1\right\}\) e \(\pmb{\text{n}}\) é a normal unitária interior.
-D)\(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\)
+D)\(\int\int\int_{\text{V}_1}\text{div}\pmb{\text{G}}\text{ dx}\text{dy}\text{dz}\text{=}-2\pi\), onde \(\text{V}_1\) é \(\left\{\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right)\in\mathbb{R}^3\text{:}\frac{\text{x}^2}{9}+\text{y}^2+\text{z}^2\leq1\right\}\)
 E)Nenhuma das anteriores