Álgebra linear

Resolução de sistemas de equações lineares

• Identificação de expressões lineares
• Resolução de SEL 3 equações e 3 incógnitas
• Soma da solução de um SEL 3 equações e 3 incógnitas
• Classificação dum SEL 3 equações e 3 incógnitas com 2 parâmetros
• Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL

Método de eliminação de Gauss

• Identificação da forma em cada escada de linhas
• Forma em escada de linhas com 1 como pivot
• Forma reduzida de uma matriz
• Forma reduzida de uma matriz com entradas complexas
• Teorema das matrizes invertíveis e MEG

Matrizes e vetores

• Compatibilidade das operações matriciais
• Calculo algébrico de matrizes e vetores
• Propriedades de matrizes elementares 3\( \times\)3
• Vetor combinação linear em \(R^2\)

Inversão de matrizes

• Matriz inversa 3 \( \times \) 3
• Inversa do produto de A com \(B^T\)
• Inversa do produto de 3 matrizes elementares 3\(\times\)3

• Teorema das matrizes invertíveis e MEG
• Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL
• Teorema das matrizes invertíveis e resolução de SEL(2)

Espaços lineares

• Teorema das matrizes invertíveis e espaços matriciais

• Subespaço de \(R^3\)

Transformações lineares

• Multiplicação por uma matriz

• Matriz canónica de uma transformação num espaço de matrizes 2\(\times\)2

• Matriz canónica de uma transformação integral entre espaços de polinómios

• Matriz canónica de uma transformação diferencial num espaço de polinómios

• Identificação geométrica de uma transformação linear

• Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\)

• Composição de 3 transformações lineares em \(R^2\) sem projeções

• Composição de 3 transformações lineares em \(R^3\)

• Inversa da composição de 2 transformações lineares

• Matriz da transformação de um paralelogramo

• Rotação de um quadrado fora da origem

• Teorema das matrizes invertíveis e transformações lineares

Independência linear

• Vetor combinação linear em \(R^2\)
• Número de vetores linearmente independentes
• Conjuntos linearmente independentes em \(R^4\)

Bases e dimensão

• Dimensão de um subespaço de \(R^4\)
• Dimensão de um subespaço
• Teorema da dimensão

• Representação numa base de polinómios

• Representação numa base de \(R^2\)

• Representação numa base dum plano de \(R^3\)

Núcleo e contradomínio de uma transformação linear

• Vetores na imagem de uma transformação de \(R^2\) para \(R^3\)
• Projeção de um cubo

Aplicações a equações diferenciais lineares

• Trajetórias para valores próprios reais

Produtos internos e normas

• Diagonal de um paralelipípedo (coseno de um ângulo)
• Propriedades do produto interno e externo

Bases ortogonais e ortogonalização de Gram-Schmidt

• Base ortonormal para um subespaço de \(R^3\)
• Ortonormalização duma base(Gram-Schmidt)

Complementos ortogonais e projeções

• Base do complemento ortogonal de subespaço de \(R^3\)
• Distância de vetor a um plano
• Distância de vetor a uma reta

Determinantes e aplicações

• Cálculo do determinante de uma matriz 4\(\times\)4

• Propriedades de matrizes com determinante igual a 1

• Cálculo da área de um paralelogramo

• Cálculo do volume de um paralelepípedo

• Regra de Cramer

• Polinómio característico e diagonalização

Valores e vetores próprios

• Valores próprios complexos na transformação de um quadrado
• Valores próprios da transformação de um quadrado
• Valores próprios de uma matriz 3X3
• Reconstruir uma matriz 2X2
• Matriz companheira
• Identificar vetores próprios de uma matriz 3X3
• Vetor próprio de matriz com parâmetro
• Caracteristica e espaço nulo de uma matriz
• Valores próprios de matrizes simétricas
• Matriz de rotação com escala
• A rotação escondida na matriz \(A\)
• Decomposição em valores singulares

Diagonalização de matrizes

• Polinómio característico e diagonalização
• Identificar matrizes diagonalizáveis
• Ação de uma matriz diagonalizável
• Decomposição espetral
• Decomposição espetral 4x4

Formas quadráticas

• Classificação de formas quadráticas em \(R^2\)
• Propriedades de formas quadráticas em \(R^2\)
• Classificação de formas quadráticas em \(R^3\)

Aplicações

• Matriz de transição de uma cadeia de Markov
• Previsão numa cadeia de Markov
• Vetor estacionário de uma cadeia de Markov
• Atratores e repulsores no espaço de fase
• Trajetórias num sistema dinâmico discreto
• Atratores e repulsores no espaço de fase com matrizes diagonais

Métodos numéricos

• Cociente de Rayleigh
• Método da potência
• Matrizes com valores próprios dominantes